湖南省2017年高中数赛预赛试题

一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分） 

1.设集合,集合且三条件恰好有一个成,若,则下列选项正确的是

A.   

C.   

2.已知点P 为正三棱柱上底面的中心，作平面BCD,与棱交于点D,若,则三棱锥的体积为（  ） 

A.      

3.已知椭圆C: ，对于任意实数k,椭圆C被下列直线所截得弦长，与被直线所得弦长不可能相等的是（  ）

A.      

4.对任意正整数n与k，用表示不超过且与互质的正整数个数,则=（ ） 

A.      

5.如果三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）

A. 是锐角三角形，也是锐角三角形

B. 是钝角三角形，也是钝角三角形

C. 是锐角三角形，也是钝角三角形

D. 是钝角三角形, 也是锐角三角形

6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列：

5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知（　　　）

二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分） 

7.已知函数满足，

则+=_________

 8.已知为圆O 的三点，且,则__________

 9.已知复数，若方程为虚数单位）有实数根，则复数的的最小值=_________

10.对于正整数n,定义，记，

________

11.当，且，则____________

12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，有，

则不等式的解集_______________

13.（16分） 在锐角中，,a,b,c为A,B,C的对边，

（1）求的值

（2）若，求当取最大值时的面积

14.（16分）已知数列满足,其中的前n项和，

(1)求证：为等差数列

(2)若对于任意的n,均有：，试求k的最大值.

15.（20分） 已知,

（1）求证：

（2）如果是函数的零点，证明：

 此题目有错误,省竞委已经做了声明)

16.（20分） 已知AB是椭圆上的斜率为1的弦，AB的垂直平分线与椭圆交于CD两点，设CD的中点F,CD交于AB于E

(1)求证：

(2)求证：四点ABCD共圆

四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)

（1）在锐角，证明：

(2)设，证明：

(3)给定正整数k,a,b,若对于任意正整数n,都有：，证明:a=b

(4)对于给定正整数，任取，求的最大值.