数 学 （文科） 2014.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.
A. B. C. D.
2. 已知集合
A. B. C. D.
3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有
A.0个 B.1个 C. 2个 D. 4个
4. 平面向量满足，，且的夹角为，则=
A.1 B. 3 C.5 D. 7
5. 函数的部分图象可能是
A B C D
6. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为
A．1 B．2 C． D．3
7. 已知和是指数函数，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.双曲线的离心率为2，则__________.
10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______
方案一： 方案二： 方案三：
11. 在中，，，，则
12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①，； ； .
能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________.
13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为
__________.
14. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.
(1) 若与有且只有一个公共点，则＝ ;
(2) 记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）求在上的取值范围.
16．（本小题满分13分）
某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：
| 答对题目数 | 8 | 9 | ||
| 女 | 2 | 13 | 12 | 8 |
| 男 | 3 | 37 | 16 | 9 |
(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.
17. （本小题满分14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.
（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线//平面；
（Ⅱ）求证：BD⊥；
（Ⅲ）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.
18. （本小题满分13分）
已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求证：恒成立.
19. （本小题满分14分）
已知是椭圆上两点，点的坐标为.
（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；
（Ⅱ）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，
则称与互为正交点列.
（Ⅰ）试判断：与：是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：：不存在正交点列；
（Ⅲ）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.
海淀区高三年级第二学期期中练习参
数 学 （文科） 2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 1 10. 方案三 11., 12. ③, 13. 152
14.,
{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成不扣分}
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.解：
（Ⅰ） ---------------------------------1分
---------------------------------2分
---------------------------------3分
---------------------------------4分
（Ⅱ） ---------------------------------6分
--------------------------------8分
因为
所以 --------------------------------10分
所以 --------------------------------12分
所以的取值范围是 --------------------------------13分
16.解：
(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A
--------------------------------5分
(Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A、B、C、D、E，其中A、B为女司机 ，选出两人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种.
记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M，则
--------------------------------13分
17.解：
（Ⅰ）因为,分别为中点，所以// ---------------------2分
又，
所以. -----------------------4分
（Ⅱ）因为，且
所以 -------------7分
又
所以 ------------------------9分
（Ⅲ）直线与直线不能垂直 ---------------------------------------10分
因为, , ,
，
所以. ---------------------------------------12分
因为，所以，
又因为，所以.
假设，
因为，，
所以， ------------------------------------------13分
所以，
这与为锐角矛盾
所以直线与直线不能垂直. ---------------------------------------14分
18.解：
(Ⅰ) 定义域为 ------------------------------------1分
------------------------------------2分
令，得 ------------------------------------3分
与的情况如下：
| 0 | |||
| ↘ | 极小值 | ↗ |
所以的单调减区间为，单调增区间为--------------------------6分
(Ⅱ) 证明1：
设， ------------------------------------7分
-------------------------------8分
与的情况如下：
| 1 | |||
| 0 | |||
| ↘ | 极小值 | ↗ |
在时恒成立， ----------------------10分
所以，当时，，
所以，即，
所以，当时，有. ------------------------13分
证明2：
令 ----------------------------------7分
-----------------------------------8分
令，得 -----------------------------------9分
与的情况如下：
| 0 | |||
| ↘ | 极小值 | ↗ |
的最小值为 -------------------11分
当时，，所以
故 -----------------------------12分
即当时，. ------------------------------------13分
19.解：（Ⅰ）证明：
因为在椭圆上，
所以 -----------------------------------1分
因为关于点对称，
所以， --------------------------------2分
将代入②得③，
由①和③消解得， ------------------------------------------4分
所以. ------------------------------------------5分
（Ⅱ）当直线不存在斜率时，，
可得，不是等边三角形. -----------------------6分
当直线存在斜率时，显然斜率不为0.
设直线：，中点为，
联立消去得， ------------------7分
由，得到 -----------------------------------8分
又,
所以，
所以 -------------------------------------------10分
假设为等边三角形，则有，
又因为，
所以， 即， ---------------------11分
化简，解得或 ---------------12分
这与式矛盾，所以假设不成立.
因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. ------------14分
20.解： （Ⅰ）有序整点列与互为正交点列.-------------------------1分
理由如下：
由题设可知, ,
因为,
所以.
所以整点列与互为正交点列.
----------------------------3分
（Ⅱ）证明 ：由题意可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设,
因为相同，所以有
因为，方程②不成立，
所以有序整点列不存在正交点列.----------8分
（Ⅲ）存在无正交点列的整点列. -------------------------------------------9分
当时，设其中是一对互质整数，
若有序整点列是点列的正交点列,
则，由
得
取,
由于是整点列，所以有.
等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以存在无正交点列的整点列. -----------------------------------13分
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