幂的运算讲义

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；

2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

【幂的运算 知识要点】

要点一、同底数幂的乘法性质

(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 

即（都是正整数）. 

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

     (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)

（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

要点三、积的乘方法则

  (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).

         （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质    

1、计算：

（1）；（2）；

（3）．

【答案与解析】

解：（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．

举一反三：

【变式】计算：

（1）；

（2）（为正整数）；

（3）（为正整数）．

【答案】

解：（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

2、已知，求的值． 

【思路点拨】同底数幂乘法的逆用： 

【答案与解析】

解：由得．

∴  ．

【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．

类型二、幂的乘方法则

3、计算：

（1）；（2）；（3）．

【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）． 

【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.

4、已知，求的值．

【答案与解析】 

解：∵  ，∴  ．

【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

【变式1】已知，．求的值．

【答案】

解：．

【高清课堂396573  幂的运算 例3】

【变式2】已知，，求的值．

【答案】

解：因为,  .

所以.

类型三、积的乘方法则

5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

（1）；    （2）；   （3）．

【答案与解析】

解：（1）错，这是积的乘方，应为：．

（2）对．

（3）错，系数应为9，应为：．

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．

（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

《幂的运算》能力提高练习题

1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（　　）

    A、﹣299        B、﹣2        C、299        D、2

2、当m是正整数时，下列等式成立的有（　　）

（1）a2m=（am）2；（2）a2m=（a2）m；

（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．

    A、4个        B、3个        C、2个        D、1个

3、下列运算正确的是（　　）

    A、2x+3y=5xy        B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3

    C、        D、（x﹣y）3=x3﹣y3

4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（　　）

    A、an与bn        B、a2n与b2n        C、a2n+1与b2n+1        D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1

5、下列等式中正确的个数是（　　）

①a5+a5=a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a=a10；③﹣a4•（﹣a）5=a20；④25+25=26．

    A、0个        B、1个        C、2个        D、3个

二、填空题。

6、计算：x2•x3=　_________　；（﹣a2）3+（﹣a3）2=　_________　．

7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=　_________　．

三、解答题

8、已知3x（xn+5）=3xn+1+45，求x的值．

9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（xny）（xn﹣1y2）（xn﹣2y3）…（x2yn﹣1）（xyn）的值．

10、已知2x+5y=3，求4x•32y的值．

11、已知25m•2•10n=57•24，求m、n．

12、已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值．

13、若xm+2n=16，xn=2，求xm+n的值．

14、已知10a=3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式。

15、比较下列一组数的大小．8131，2741，961

16、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．

17、已知9n+1﹣32n=72，求n的值．

18、若（anbmb）3=a9b15，求2m+n的值．

19、计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）

20、若x=3an，y=﹣，当a=2，n=3时，求anx﹣ay的值．

21、已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．

22、计算：（a﹣b）m+3•（b﹣a）2•（a﹣b）m•（b﹣a）5

23、若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．

24、用简便方法计算：

（1）（2）2×42                         （2）（﹣0.25）12×412

（3）0.52×25×0.125            （4）[（）2]3×（23）3