历届全国大学生数学竞赛预赛试题

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设是连续函数，且满足，则____________.

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.

二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.

三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.

四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：

（1）；

（2）.

五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线过原点.当时，，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知满足，且，求函数项级数之和.

八、（10分）求时，与等价的无穷大量.

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（25分，每小题5分）

（1）设，其中求

（2）求.

（3）设，求.

（4）设函数有二阶连续导数，，求.

（5）求直线与直线的距离.

二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且，，

，且存在一点，使得.证明：方程在恰有两个实根.

三、（15分）设函数由参数方程所确定，且，

其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数.

四、（15分）设，证明：

（1）当时，级数收敛；

（2）当且时，级数发散.

五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球

（其中，密度为1）绕旋转.

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.

六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数.

（1）设为正向闭曲线，证明；

（2）求函数；

（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）求；

（2）.求；

（3）已知，求.

二、（本题10分）求方程的通解.

三、（本题15分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得

.

四、（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.

五、（本题16分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧），是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示的正法向的方向余弦.计算：

（1）；（2）

六、（本题12分）设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.

七、（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，，

请说明理由.

2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.

（1）求极限.

（2）求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点.

（3）已知函数，且.确定常数和，使函数满足方程.

（4）设函数连续可微，，且在右半平面与路径无关，求.

（5）求极限.

二、（本题10分）计算.

三、（本题10分）求方程的近似解，精确到0.001.

四、（本题12分）设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.

五、（本题12分）求最小实数，使得满足的连续函数都有.

六、（本题12分）设为连续函数，.区域是由抛物面和球面

所围起来的部分.定义三重积分，

求的导数.

七、（本题14分）设与为正项级数，证明：

（1）若，则级数收敛；

（2）若，且级数发散，则级数发散.

2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）

1.求极限.

2.证明广义积分不是绝对收敛的.

3.设函数由确定，求的极值.

4.过曲线上的点作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点的坐标.

二、（满分12分）计算定积分.

三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且.证明：级数收敛.

四、（满分12分）设，证明.

五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分.试确定曲面，使积分的值最小，并求该最小值.

六、（满分14分）设，其中为常数，曲线为椭圆，取正向.求极限.

七、（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.

2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）

1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.

2.设有曲面和平面.则与平行的的切平面方程是.

3.设函数由方程所确定.求.

4.设，则.

5.已知，则.

二、（本题12分）设为正整数，计算.

三、（本题14分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得，.证明：对任意，有.

四、（本题14分）（1）设一球缺高为，所在球半径为.证明该球缺体积为，球冠面积为；（2）设球体被平面所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分

.

五、（本题15分）设在上非负连续，严格单增，且存在，使得.求.

六、（本题15分）设，求.

2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限.

（2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且则.

（3）曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是.

（4）函数在的傅立叶级数在收敛的是.

（5）设区间上的函数定义域为，则的初等函数表达式是.

二、（12分）设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.

三、（12分）设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，则在内无穷次可导.

四、（14分）求幂级数的收敛域及其和函数.

五、（16分）设函数在上连续，且.试证：

（1）使；

（2）使.

五、（16分）设在上有连续的二阶偏导数，且.若

，证明：.

2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1、若在点可导，且，则__________.

2、若，存在，求极限.

3、设有连续导数，且，记，若，求在的表达式.

4、设，求，.

5、求曲面平行于平面的切平面方程.

二、（14分）设在上可导，，且当，，试证当，.

三、（14分）某物体所在的空间区域为，密度函数为，求质量.

四、（14分）设函数在闭区间上具有连续导数，，，

证明：.

五、（14分）设函数在闭区间上连续，且，证明：在内存在不同的两点，使得.

六、（14分）设在可导，且.用Fourier级数理论证明为常数.

2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、1.已知可导函数满足，则=_________.

2．求.

3.设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数.则=_________.

4.设有二阶导数连续，且，则=____.

5.不定积分=________.

6.记曲面和围成空间区域为，则三重积分=___________.

二、（本题满分14分)设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度，定义一元函数

.

若对任何都有且.证明是的极小值.

三、(本题满分14分)设曲线为在

，， 

上从到的一段.求曲线积分.

四、(本题满分15分)设函数且在实轴上连续，若对任意实数，有，则，.

五、(本题满分15分)设为一个数列，为固定的正整数。若

，

其中为常数，证明.