微积分试卷加答案

课程名称: 微积分（下）   考试方式:   闭卷    完成时限:  120分钟 

班级名称:                  学  号:             姓  名:_____________

1．　　　　　　　．

２．设为连续函数,且满足,则的表达式为　　　　　　　．

３．已知，则　　　　　　　． 

４．要使函数在点连续,则应补充定义　　　　　　　． 

５． 　　　　　　　．

６．设,则　　　　　　　．

７．若,则　　　　　　　．

８．方程的一个特解形式是　　　　　　　．

二、单项选择题（每小题2分,共10分）

1. 函数在区间上的平均值为（    ）．

A．　　　　B.　　　　C.　　　　D. 

2．函数在点处可微的充分条件是在该点（    ）．

A.存在偏导数              B.连续        

C.连续且存在偏导数        D.某一邻域内存在连续的偏导数

3． 幂级数的收敛区间是(    ).

  A.    　　B.　　　　C.        D. 

4.  微分方程的通解是(    ).

  A.                    B. 

  C.                D. 

5.累次积分改变积分次序后为(    ).    

A．         　　B. 

C.            　D. 

三、计算题(一)（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）

１.计算定积分．

1.解:原式=                  　2分

                                 　 　4分

        　　==.                6分

２．计算广义积分． 

２．解:设,则,且当时,;时, , 2分

于是

 　　原式==                      4分

         =.                          

３．已知，求dz.    

３．解:  

                                　２分

                                 　４分

４．计算,其中.

４．解:   　　　　　　　 3分

四、计算题（二）（写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分）

１．设,其中有二阶连续偏导,求,.

1．解: =,            　　　　　　 3分

     =

     　 =. 　　　7分

2. 设是平面上由曲线,直线,所围成的区域,试求.

2.解:积分区域如图所示.

=        3分

=                  4分 

    ==         6分

    ==.                      7分

3. 判别级数的收敛性．

3.解:                             2分

                          4分

                                     　６分

 故原级数收敛.   

４．设可微函数满足方程，求.

4. 解:两边求导　.记.       2分

.                                  3分

分离变量　.通解为.                  5分

在原方程中代入....     6分

．  　　　　　　　　　　　　

五、应用题（每小题９分,共18分）

1. 在曲线()上某点处作切线,使该曲线、切线与轴所围图形的面积为.求切点的坐标、切线方程,并求此图形绕轴旋转一周的立体体积. 

1. 解:设切点坐标为,则切线方程为

        ().       2分

图形如图所示.由题设知

    ,      4分

化简上式可得,于是.       5分

因此所求切点为,切线方程为,　6分

且

      ==. ９分

2. 经济学中有Cobb-Donuglas生产函数模型:,式中表示劳动力的数量,表示资本数量,与()是常数,由不同企业的具体情形决定.函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Donuglas生产函数为,若每单位劳力需600元,每单位资本是2000元,工厂对该产品的劳力和资本的投入总预算是40万元,试求最佳资金投入分配方案.

2. 解:设产出为,约束方程为+.                                        

  构造辅助函数,         3分

解                                  5分

得,为唯一驻点.                                  　　 ８分

由实际问题知必存在最大产出量,所以当投入500个劳力单位和50个资本单位时,可使产出量最大,是最佳资金投入方案.                     　　　　　

五、证明题（４分）

已知, ,而且, ,则级数绝对收敛.

证: 

,                          ３分

而收敛, 由正项级数比较判别法知,收敛, 即原级数绝对收敛.                                                      ４分

浙江工商大学2008/2009学年第二学期《微积分（下）》期末考试试卷A卷参

一、填空题（每小题2分,共16分）

1.;        　　2.;        3.   ;        4.;    

5.０;    　　　　　　6．１;　　　　　　　7.;    　　8..

二、单项选择题（每小题2分,共10分）

1. D;        2. D;        3. C;        4. C;        5. B.

三、计算题(一)（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）

1.解:原式=                  　2分

                                 　 　4分

        　　==.                6分

２．解:设,则,且当时,;时, , 2分

于是

 　　原式==                      4分

         =.                             　　　　　 6分

３．解:  

                                　２分

                                 　４分

.                                　６分

４．解:   　　　　　　　 3分

  　　　　　　　　　　6分

四、计算题（二）（写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分）

1．解: =,            　　　　　　 3分

     =

     　 =. 　　　7分

2.解:积分区域如图所示.

=        3分

=                  4分 

    ==         6分

    ==.                      7分

3.解:                             2分

                          4分

                                     　６分

 故原级数收敛.                                               　　　　７分  

4. 解:两边求导　.记.       2分

.                                  3分

分离变量　.通解为.                  5分

在原方程中代入....     6分

．  　　　　　　　　　　　　　　　　　　７分  

五、应用题（每小题９分,共18分）

1. 解:设切点坐标为,则切线方程为

        ().       2分

图形如图所示.由题设知

    ,      4分

化简上式可得,于是.       5分

因此所求切点为,切线方程为,　6分

且

      ==. ９分

2. 解:设产出为,约束方程为+.                                        

  构造辅助函数,         3分

解                                  5分

得,为唯一驻点.                                  　　 ８分

由实际问题知必存在最大产出量,所以当投入500个劳力单位和50个资本单位时,可使产出量最大,是最佳资金投入方案.                     　　　　　　　　　　　　 ９分

五、证明题（４分）

证: 

,                          ３分

而收敛, 由正项级数比较判别法知,收敛, 即原级数绝对收敛.                                                      ４分