等比数列基础练习题百度文库

1．在数列中，，，则（    ）

A．32    B．16    C．8    D．4

2．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（    )

A．1    B．8    C．4    D．2

3．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．1

4．已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（    ）

A．是等差数列    B．    C．    D．是等比数列

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（    ）

A．-3+(n+1)×2n    B．3+(n+1)×2n

C．1+(n+1)×2n    D．1+(n-1)×2n

6．在和之间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．在等比数列中，，，则（    ）

A．45    B．54    C．99    D．81

8．与的等比中项是（    ）

A．－1    B．1    C．    D．

9．记为正项等比数列的前项和，若，则（    ）.

A．    B．    C．    D．

10．等比数列的前项和为，，，则公比为（    ）

A．    B．或1    C．1    D．2

11．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．8    B．7    C．6    D．4

12．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

13．等比数列中，，，则等于（    ）

A．16    B．32    C．    D．128

14．已知等比数列中，，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

15．设等差数列的公差，若是与的等比中项，则(    )

A．3或6    B．3 或-1

C．6    D．3

16．设数列，下列判断一定正确的是（    ）

A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列

B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列

C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列

D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列

17．设等比数列的前n项和为，若，则等比数列的公比为（    ）

A．2    B．1或2    C．-2或2    D．-2或1或2

18．在等比数列中，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

19．已知等比数列的公比为2，其前n项和为，则=（    ）

A．2    B．4    C．    D．

20．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（    ）

A．，其中和都为等比数列

B．，其中为等差数列，为等比数列

C．，其中和都为等比数列

D．，其中为等差数列，为等比数列

二、多选题21．题目文件丢失！

22．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有，若，，数列的前项和组成数列，则有（    ）

A．数列递增，且    B．数列递减，最小值为

C．数列递增，最小值为    D．数列递减，最大值为1

23．已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

24．设是无穷数列，，，则下面给出的四个判断中，正确的有（    ）

A．若是等差数列，则是等差数列

B．若是等差数列，则是等差数列

C．若是等比数列，则是等比数列

D．若是等差数列，则都是等差数列

25．设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为

D．若恒成立，则的最小值为

26．已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（    ）

A．25    B．26    C．27    D．28

27．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．数列是等比数列

C．    D．

28．已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

A．数列是等比数列    B．数列是等比数列

C．数列是等比数列    D．数列是等比数列

29．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（    ）

A．此人第六天只走了5里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

30．设数列满足记数列的前n项和为则（    ）

A．    B．    C．    D．

31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A．    B．

C．    D．

32．已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递增数列

D．的前项和

33．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（    ）

A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B．已知，则是间隔递增数列

C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2

D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

34．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（    ）

A．q＝1    B．数列{Sn+2}是等比数列

C．S8＝510    D．数列{lgan}是公差为2的等差数列

35．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有(    )

A．    B．    C．    D．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题

1．C

【分析】

根据，得到数列是公比为2的等比数列求解.

【详解】

因为，

所以，

所以数列是公比为2的等比数列．

因为，

所以．

故选：C

2．B

【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出，再由等比数列的性质，即可求出结果.

【详解】

因为各项不为的等差数列满足，

所以，解得或（舍）；

又数列是等比数列，且，

所以.

故选：B.

3．D

【分析】

首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.

【详解】

在等比数列中，设公比，

当时，有，，成等差数列，

所以，即，解得，

所以，所以，

，当且仅当时取等号，

所以当或时，取得最小值1，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.

4．C

【分析】

由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D．

【详解】

时，因为，所以，所以，

所以是等差数列，A正确；

，，公差，所以，所以，B正确；

不适合，C错误；

，数列是等比数列，D正确．

故选：C．

【点睛】

易错点睛：本题考查由数列的前项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，

在公式中，不包含，因此由求出的不包含，需要特别求解检验，否则易出错．

5．D

【分析】

利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，

所以由题设得，

两式相除得1+q3=9，解得q=2，

进而可得a1=1，

所以an=a1qn-1=2n-1，

所以nan=n×2n-1.

设数列{nan}的前n项和为Tn，

则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，

2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，

两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，

故Tn=1+(n-1)×2n.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.

6．D

【分析】

根据等比数列定义知，解得答案.

【详解】

个数成等比数列，则，故.

故选：D.

7．C

【分析】

利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可

【详解】

设数列的公比为，因为，所以，所以.

故选C

8．D

【分析】

利用等比中项定义得解.

【详解】

，与的等比中项是.

故选:D

9．D

【分析】

利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．

【详解】

为正项等比数列的前项和，，，

，解得，，

．

故选：．

10．A

【分析】

由，列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.

【详解】

因为，

所以，

所以，

解得，

故选：A.

11．A

【分析】

利用已知条件化简，转化求解即可．

【详解】

已知为等比数列，，且，

满足，则S3＝8．

故选：A．

【点睛】

思路点睛：

（1）先利用等比数列的性质，得，

（2）通分化简.

12．C

【分析】

由等比数列性质求得，把表示为的函数，由函数单调性得取值范围．

【详解】

因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，

，易知函数在上单调递增，所以，

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得，选为参数．

13．A

【分析】

由，求得，再由求解.

【详解】

，.

∴，

∴.

故选：A

14．B

【分析】

根据等比中项的性质可求得的值，再由可求得的值.

【详解】

在等比数列中，对任意的，，

由等比中项的性质可得，解得，

，，因此，.

故选：B.

15．D

【分析】

由是与的等比中项及建立方程可解得.

【详解】

是与的等比中项

，

，.

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题.

16．C

【分析】

根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.

【详解】

对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；

对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；

对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；

对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：证明或判断等比数列的方法，

（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；

（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；

（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；

（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.

17．C

【分析】

设等比数列的公比为，由等比数列的前n项和公式运算即可得解.

【详解】

设等比数列的公比为，

当时，，不合题意；

当时，，解得.

故选：C.

18．D

【分析】

利用等比数列下标和相等的性质有，而目标式可化为结合已知条件即可求值.

【详解】

，

∵等比数列中，而，

∴，

故选：D

19．C

【分析】

利用等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得答案

【详解】

解：因为等比数列的公比为2，

所以，

故选：C

20．D

【分析】

由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.

【详解】

解：，

当时，有；

当时，有，

又当时，也适合上式，

，

令，，则数列为等差数列，为等比数列，

故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；

因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：

由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.

二、多选题

21．无

22．AC

【分析】

计算的值，得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，根据其通项公式进行判断即可

【详解】

解：因为，所以，

所以，

，

……

所以，

所以，

所以数列递增，当时，有最小值，

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题

23．ACD

【分析】

在中，令，则A易判断；由，B易判断；令，，

时，，裂项求和，则CD可判断.

【详解】

解：由，所以，故A正确；，故B错误；

，，所以时，，，

所以时，，

令，，

时，，

，时，

所以时，，故CD正确；

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：已知与之间的关系，一般用递推数列的通项，注意验证是否满足；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.

24．AD

【分析】

利用等差数列的通项公式以及定义可判断A、B、D；利用等比数列的通项公式可判断B.

【详解】

对于A，若是等差数列，设公差为，

则，

则，

所以是等差数列，故A正确；

对于B，若是等差数列，设公差为，

，即数列的偶数项成等差数列，

奇数项成等差数列，故B不正确，D正确.

对于C，若是等比数列，设公比为，

当时， 则，

当时，则，故不是等比数列，故C不正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题.

25．ABD

【分析】

根据等差中项列式求出，进而求出等比数列的通项和前项和，可知A，B正确；根据求出或或或，可知的最小值为，C不正确；利用关于单调递增，求出的最大、最小值可得结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

由，得，解得，所以，

；

；所以A，B正确；

若，则，，

所以，所以，

则或或或，此时或或或；C不正确，，

当为奇数时，，当为偶数时，，

又关于单调递增，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，所以，D正确，

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题.

26．CD

【分析】

由题意得到数列的前项依次为 ，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解.

【详解】

由题意，数列的前项依次为 ，

利用列举法，可得当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

不满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

不满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

满足，

所以使得成立的的可能取值为.

故选：CD.

【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

27．ACD

【分析】

根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.

【详解】

因为，所以有，因此选项A正确；

因为，所以，

因为常数，

所以数列不是等比数列，故选项B不正确；

因为，所以选项C正确；

，

因为当时，，所以选项D正确.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数算能力.

28．ABD

【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.

【详解】

根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则，

对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；

对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确；

对于C，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误；

对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.

29．BCD

【分析】

设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.

【详解】

解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，

设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列.

所以，解得.

选项A:,故A错误,

选项B:由，则，又，故B正确.

选项C:,而，,故C正确.

选项D:,

则后3天走的路程为,

而且,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和，是基础题.

30．ABD

【分析】

由已知关系式可求、，进而求得的通项公式以及前n项和即可知正确选项.

【详解】

由已知得：，令，

则当时，，即，而也成立，

∴，，故数列通项公式为，

∴，即有，

故选：ABD

【点睛】

关键点点睛：由已知求、，注意验证是否符合通项，并由此得到的通项公式，利用裂项法求前n项和.

31．ACD

【分析】

由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.

【详解】

对于A，写出数列的前6项为，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，由，，，……，，可得：，故C正确.

对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.

32．ABD

【分析】

由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.

【详解】

因为，所以，又，

所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，故选项A 、B正确.

由的通项公式为知，为递减数列，选项C不正确.

因为，所以 的前项和

.选项D正确，

故选：ABD

【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.

33．BCD

【分析】

根据间隔递增数列的定义求解.

【详解】

A. ，因为，所以当时，，故错误；

B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确； 

C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；

D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，

则，成立，

则，对于成立，且，对于成立

即，对于成立，且，对于成立

所以，且

解得，故正确.

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

34．BC

【分析】

先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．

【详解】

由题意，根据等比中项的性质，可得

a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，

故a2＞0，a3＞0．

根据根与系数的关系，可知

a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．

解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．

故必有公比q＞0，

∴a10．

∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1．

∴a2＝4，a3＝8满足题意．

∴q＝2，a12．故选项A不正确．

an＝a1•qn﹣1＝2n．

∵Sn2n+1﹣2．

∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1．

∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．

S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．

∵lgan＝lg2n＝n．

∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．

故选：BC

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数算的能力，属于中档题.

35．BC

【分析】

根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.

【详解】

由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.

故选：BC.

【点睛】

本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.