数值分析简单习题

第一章：

基本概念

第二章：

Gauss消去法，Lu分解法

第三章：

题型：具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明

第四章： 

掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数

第五章：

最小二乘法计算

第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造

第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。

第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章  误差

1.科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2.用Taylor展开近似计算函数，这里产生是什么误差？

3.0.7499作的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 

4.改变下列表达式，使计算结果比较精确：

（1）     （2） 

（3）   （4） 

5.采用下列各式计算时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1）    （2）    （3）    （4）

6. 已知近似数有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

1、利用Taylor 展开公式计算，编一段小程序，上机用单精度计算的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分,有如下的递推关系

可建立两种等价的计算公式

    (1)     (2) 

来计算，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章插值法

1. 已知，那么差商_________.

2.阶差商与导数的关系是__________________.

3. 由导数和差商的关系知， =__________________。

4. 已知函数在的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。

5.取节点, 对应的函数值和导数值分别为，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为，插值多项式如何计算？)

6．已知，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设,求三次多项式,使之满足插值条件

8.设是过的一次插值多项式，其中是包含的任一区间。试证明：对任一给定的，在（a,b）上总存在一点，使得。

9.证明关于互异节点的Lagrange插值基函数满足恒等式

上机习题：

1.绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。

第三章数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差的___________达到最小

3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如的多项式，使与下列数据相拟合

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2. 平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？

5.  试求下面矩阵的杜利特尔分解

（1）。

（2）。

6. 用列主元高斯消去法求解方程组  。

7. 用LU分解法解方程组。

上机实验题：

1.编程实现列主元的高斯消去法

2.编程实现LU分解法

第五章线性方程组的迭代解法

1. 向量，计算，，.

2. A=，计算，，.

3., 分别计算A的谱半径, 条件数， 

4. 矩阵A的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解AX=b的迭代格式收敛的充分必要条件____________________。

6. SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。

7. 写出下面方程的Jacobi迭代格式

8. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛

（1）            （2）  

9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组）

10. 给定方程组

，

（1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。

（2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散。

上机实验题：

1. 求解方程组： 

以为初值，当时迭代终止。

 (1) 编写Jacobi迭代法程序

(2) 编写Gauss-Seidel迭代法程序

第六章数值积分与数值微分

1.的梯形求积公式是________，Simpson公式是_______，其代数精度分别为_____，____。

2. n点Gauss求积公式的代数精度为___________.

3. 确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度

（1）

(2) 

(3) 

4. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Gauss求积公式计算积分，并估计各种方法的误差。

5. 写出二点和三点的Gauss-Legendre 求积公式.

6. 分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算下列积分.

7. 确定求积公式的求积公式，并求其代数精度。

8. 构造如下形式的Gauss求积公式：.

9. 构造如下形式的Gauss求积公式：.

上机实验题：

1.编程实现五点Gauss积分算法。

第七章非线性方程与非线性方程组的解法

1. 求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是________，割线法的收敛阶是____________.

2.确定下列方程的有根区间

(1) 

(2) 

3.试用牛顿法和弦截法建立计算的迭代格式。

4．试建立计算的两种收敛的迭代格式。

5．建立计算的牛顿迭代格式，并求，保留4位有效数字。(迭代求解3次即可)

6. 用不动点迭代法计算的近似值.

7. 设初值, 计算的迭代格式

。

试证：（1）此迭代格式二阶收敛.

        （2）此迭代格式收敛的充分必要条件为.

上机实验题：

1. 用割线法求方程的根，要求

第八章 常微分方程初值问题的数值解法

1. 求解常微分方程的Euler公式为______________________, 其局部截断误差的阶数为_________，整体截断误差的阶数为__________.(设步长为h)

2. 应用向前欧拉格式求解初值问题

取步长h = 0.1，将计算结果与精确解对照.