第01课 平方根
1.乘方:“”.乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方或a的n次幂.
2.平方:“”，读作a的平方或a的二次方.
3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；
算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平方根，也就是说，如果x2=a，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则
算术平方根性质：
(1)当0时0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数
（由定义得出）
(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个
(3)还原性质：当时，，即非负数算术平方根的平方等于该非负数
完全平方数：能够完全开方开的尽的数。如1,4,9,16，...
平方根概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，如果x2=a，那么x 叫做a 的平方根.则
开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.即求的运算叫开平方.
表示方法：一个正数的平方根表示为；若x2= (>0)则x=。
平方根的性质：
(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根
(2)还原性质：（由定义得出）当0时()2= 即：非负数的平方根的平方等于该数
（三）的含义：
：当0时，表示的算术平方根
：当0时，表示的算术平方根的相反数
：当0时，表示的平方根
平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算
查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位.
查表外数小数点移动法则：
（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数
（2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。
例1.计算：
12= ；22= ；32= ；42= ；52= ；62= ；72= ；82= ；92= ；112= ；122= ；132= ；142= ；152= ；162= ；172= ；182= ；192= ；202= ； 212= ；222= ；232= ；242= ；252= ；262= ；272= ；282= ；292
≈ ；≈ ；≈ ；≈ ；≈ ；≈
例2.求下列各数的算数平方根。
(1)169 (2)0.09 (3)0. (4) (5)
(6) 0.00 (7) (8) (9) (10)
例3.因为102 =100，(-10)2=100 ，所以100的平方根是 。
探索交流:（1）的平方根是 ，它们的关系是 ；
（2）0.16的平方根是 ，它们的关系是 ；
（3）0的平方根是 ，它们的关系是 ；
（4）9的平方根是 ；9的算术平方根是 .
（5） 11的平方根是 ；11的算术平方根是 .
（6）的平方根是
例4.求下列各数的平方根：
（1）81 （2） （3） （4）0.49
例5.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）－ （2）0 （3） （4）
例6.求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
例7.判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。
（1）7是的算术平方根；（ ） （2）的平方根是； （ ）
（3）等于； （ ） （4）的平方根是； （ ）
（5）6是的平方根；（ ） （6）是10的一个平方根； （ ）
（7）正数的平方比它的算术平方根大。 （ ）
例8.已知的算术平方根是2，的算术平方根是3，求的算术平方根
例9.已知
课堂练习：
1.平方根是它本身的数是_____
①若m的平方根是±3，则m=______；②若5x+4的平方根是±1，则x=______
③若的算术平方根是3，则a=_______ ④92的算术平方根是
2.(1)0.0016的算术平方根是___________ (2)3.-3是______的一个平方根;的平方根是_______
(3)任何数的平方都是 ，(4)－9的平方是 ，9的平方根是 。
(5)如果，则x= ，，x= 。
(6)0的算术平方根是 ，是 的算术平方根。
(7)1.21的平方根是 ，算术平方根是 。
(8)的平方根是 ，的平方根是 。
(9)的平方根是 ，15的算术平方根是 。(10)的平方根的和是
3.的平方根是 当， = = ,
4.当x 时,有意义；当x 时,有意义。
5.，则a＋b＋c=
6.的算术平方根是______
7.下列说法：(1)是9的平方根；(2)9的平方根是；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
8.下列各组数中,互为相反数的一组是( )
A.-2与 B.-2与 C.-2与- D.│-2│与2
9.下列说法正确的是 ( )
A.1的平方根是1 B.1的算术平方根是1 C.-2是2的平方根 D.-1的平方根是-1
10.若和都有意义，则的值是（ ）
A. B. C. D.
11.4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A.4 B. C.- D.
12.的平方根是（ ） A.6 B. C. D.
13.下列五个命题：①只有正数才有平方根；②−2是4的平方根；③5的平方根是；④都是3的平方根；⑤(−2)2的平方根是−2；其中正确的命题是( )
A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④
14.一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A.x+1 B.x2+1 C. +1 D.
15.的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
16.下列命题中，正确的个数有( )
①1的平方根是1 ；②1是1的算术平方根；③(−1)2的平方根是−1；④0的算术平方根是它本身
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17.求下列各数的平方根:
(1)81 (2) (3)1.44 (4)2 (5) （6）
（7） （8） （9） （10）
18.求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） （8） （9）
测试01
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.下列说法正确的是（ ）
A.25的平方根是5； B.-36的平方根是-6； C.0的平方根是0； D.的平方根是8．
2.下列说法中，错误的是（ ）
A.4的算术平方根是2 B.的平方根是±3 C.121的平方根是±11 D.-1的平方根是±1
3.下列说法正确的个数是（ ）
①0.25的平方根是0.5；②-2是4的平方根；③只有正数才有平方根；④负数没有平方根
A.1 B.2 C.3 D.4
4.的算术平方根是（ ）A. B.4 C. D.2
5.下列叙述中正确的是（ ）
A．（-11）2的算术平方根是±11 B．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大
C．大于零而小于1的数的平方根比原数大 D．任何一个非负数的平方根都是非负数
6.填空：
（1）________的平方等于25，所以25的平方根是________;
（2）如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是 ;
(3)若的平方根是±5，则= ;
（4）121的平方根_____，它的算术平方根是 ;
（5）的平方根______，它的算术平方根是_____
7.填空：
(1)36的算术平方根是_________;(2)的算术平方根是_____(3)的算术平方根是
(4) = (5) =_____(6)若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；
(7)2的平方根是_______(8)的平方根是 (9)的平方根是 (10)
(11)的平方根是 (12)如果的平方根等于，那么
(13)如果，则x= ;若，则x= ;若，则x=
8.填空：
(1)一个正数有 平方根，它们是互为 ；0有 平方根，它是 本身；负数 平方根。
（2）正数a有两个平方根，它们是 ，其中 叫做a的算术平方根。
9..求下列各式中的值.
（1） （2） （3） （4）-
（5）± （6）－ （7） （8）
（9） (10)
10.求下列各数或式子的算术平方根和平方根
(1)144 (2) (3) (4)
(5) (6) (7)0. (8)
11.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
12.若︱3x-y-1︳和互为相反数，求x+4y的算术平方根。
第02课 立方根
定义：如果一个数，它的立方等于a，那么，这个数叫做a的立方根；即
立方根性质：正数的立方根是正数，且只有一个；零的立方根是零；负数的立方根是负数，且只有一个.
注意：开立方和立方是互为逆运算。
；；；；；
例1.计算：
23= ；33= ；43= ；53= ；63= ；73= ；83= ；93=
例2.判断下列语句是否正确？在后面的括号内，对的打“√”，错的画“×”。
（1）8的立方根是。 （ ）
（2）－0.001的立方根是－0.1。 （ ）
（3）的立方根是。 （ ）
（4）的平方根的立方根是2。 （ ）
例3.求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
（5）216 （6）-343 （7） （8）0
例4.求下列各式中的x：
（1） （2）
例5.（1）已知正方体的棱长是8cm，求这个正方体的体积；
（2）已知正方体的体积是512cm3，求这个正方体的棱长。
例6.（1）求81的4次方根。 （2）求-128的7次方根。
例7.已知：，，,计算的值。
例8.（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
例9.（1）如果的立方根是4，求的算术平方根；
（2）已知的平方根是，求的立方根；
（3）求的值。
例10.（1）若与互为相反数，求的值；
(2)已知和为同一个正数的两个平方根，求的值。
课堂练习：
1.正数有 个 的立方根，负数有 个 的立方根，0的立方根仍旧是 。
2.的立方根是 ;的立方根是 ;是 的立方根
;
3.① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(9) (11) (12)
4.的立方根是 ;的立方根是 ; 的立方根是
的立方根是 ; ;
5. ;
6.已知，则 ，
7.若，则是y的 ，y是的
8.若与互为相反数，则 ， 。
9.已知1550的立方根是11.57，若，则等于（ ）
A.0.00155 B.1.55 C.15.5 D.0.000155
10.下列语句中，正确的是（ ）
A.一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个实数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1
11.若一个数的立方根与它的平方根完全相同；则这个数是（ ）
A.1 B.-1 C.-1或1 D.0
12.在实数范围内，下列运算中，不是总能进行的是（ ）
A.平方 B.立方 C.开平方 D.开立方
13.下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无限小数是无理数
C．不能写成分数形式的数是无理数 D．不能在数轴上表示的数是无理数
14.求下列各数的立方根：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)0.000343 (8)
(9) (10) (11) (12)
(13) (14) (16) （17）
(18) （19） (20)
（21） （22）
15.解下列方程，求x的值。
(1) (2) (3)
16.若，计算的值。
测试02
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
一、判断题：
1.的立方根是；（ ）
2.没有立方根；（ ）
3.的立方根是；（ ）
4.是的立方根；（ ）
5.负数没有平方根和立方根；（ ）
6.a的三次方根是负数，a必是负数；（ ）
7.立方根等于它本身的数只能是0或1；（ ）
8.如果x的立方根是-2，那么x=-8；（ ）
二、选择题：
1.下列说法正确的是（ ）
A.27的立方根是 B.的立方根是 C.的立方根是 D.的立方根是2
2.下列说法正确的是（ ）
A.的立方根是0.4 B.的平方根是
C.16的立方根是 D.0.01的立方根是0.000001
3．的立方根是（ ）
A.±4 B.±2 C.2 D.-2
4．的平方根是（ ）
A.－2 B.2 C. D.
5．-27 的立方根与的平方根之和是（ ）
A.0 B.6 C. 0或-6 D.-12或6
6.下列计正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.在下列各式子中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2； ④，
其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.下列四种说法有（ ）个是错误的．
（1）负数没有立方根； （2）1的立方根与平方根都是1；
（3）的平方根是； (4）．
A.1 B.2 C.3 D.4
11.若，则k= ．
12.若一个数m的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 ．
13.一个正方形的边长变为原来的m倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。
14.计算：
（1） （2） （3） （4）
（5）-+ （6）-+
15.解下列方程:
(1) （2） (3)
16.若和互为相反数，求的值。
17.已知，求的值。
第03课 平方根与立方根综合题
例1.比较的大小。
例2.如图，数轴上点A表示，点B表示的数为-1，(1)求A点和B点中点对应的数；（2）求线段AB的长度；（3）当A点向右移动3个单位，求这时A点与B点的中点对应的数．
例3.已知求的值.
例4.已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.
例5.已知2a-1和a-11是一个数的平方根，求这个数．
例6.已知2x-1的平方根是±6,2x+y-1的平方根是±5,求2x-3y+11的平方根.
课堂练习：
1.如果-b是a的立方根，那么下列结论正确的是（ ）．
A.-b也是-a的立方根 B.b也是a的立方根 C.b也是-a的立方根 D.都是a的立方根
2.设n是大于1的整数,则等式中的n必是（ ）．
A.大于1的偶数 B.大于1的奇数 C.2 D．3
3.若，则x-y的值为（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.估计＋1的值是（ ）
A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间
5.实数a、b在数轴上的位置如图1所示，那么化简|a+b|+的结果是（ ）
A、2b B、2a C、－2a D、－2b
6.如图，数轴上表示1,的对应点为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是（ ）
A. -1 B.1- C.2- D. -2
7.如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是
8.当时， =_________
9.的相反数是 ，绝对值是
10.的平方根是 的平方根为________ =_______
11.x取何值时,下面各式有意义？
（1） （2） （3） （4）
12.计算．
13.已知，其中x，y为实数，求的值．
14.已知是的算术平方根，是的立方根的平方根。
15.已知a、b满足，解关于的方程。
16.若的小数部分是a，的小数部分是b的a+b的值为多少？
17.已知3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。
18.已知x的平方根是2a-13和3a-2,求x的值.
19.已知2a-13和3a-2是x的平方根,求x的值
20.已知，求的平方根。
测试03
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
一、判断题：
1.-5的立方根是；（ ）
2.8的立方根是；（ ）
3.的立方根是没有意义；（ ）
4．的立方根是；（ ）
5．0的立方根是0；（ ）
6.是的立方根；（ ）
7.是立方根；（ ）
8.a为任意数，式子，，都是非负数．（ ）
9.下列说法正确的是( )
A．一个数的立方根有2个，它们互为相反数． B．非零数的立方根与这个数同号．
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． D．一个数的立方根是非负数．
10．若是的立方根，则下列说法正确的是（ ）
A.是的立方根 B.是的立方根 C.是的立方根 D.是的立方根
11.的平方根是x, 的立方根是y,则的值为（ ）
A.3 B.7 C.3或7 D.1或7
12．若a是的平方根，则＝（ ）
A. B. C. D.
13.若，那么的值是（ ）
A. B.-27 C.-343 D.343
14.若，则（ ）
A.9 B．10 C.11 D．12
15如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )
A．8 B.4 C.0 D.16
16.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )．
A.x>0 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0且x≠1
17.的平方根是 ，的立方根是 ；
18.若，则；
19．求下列各等式x的值：
（1） (2) （3）
(4) (5) (6)
20.若数的平方根是和，求的值.
21.若求的立方根.
22.已知a、b满足，解关于的方程。
实数
1. 无理数的定义无限不循环小数。
第04课 实数综合测试题 一
一、选择题：
1.的平方根是 （ ） A．±2 B. ±1.414 C. D.
2.下列式子中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法正确的有（ ）
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②的平方根是±8，立方根是±4；
③表示a的平方根，表示a的立方根；④一定是负数
A.①③ B.①③④ C.②④ D.①④
4.数轴上全部的点表示的数是( )
A.自然数 B.整数 C.实数 D.无理数 E.有理数
5.下列命题中，真命题是( )
A．绝对值最小的实数不存在 B．无理数在数轴上的对应点不存在
C．与本身的平方根相等的实数不存在 D．最大的负数不存在
6.若|a-1|=1-a，则a的取值范围为（ ）
A.a≥1 B.a≤1 C.a＞1 D.a＜1
7.某种生物孢子的直径为，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，那么的值为（ ）
A.-1 B.1 C. D.
9.-8的立方根与4的平方根之和是（ ）
A．0 B.4 C.0或-4 D.0或4
10.若数轴上表示数x的点在原点左边，则化简的结果是 （ ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
11.有个数值转换器，原理如下：
12.当输入x为时，输出y的值是（ ）
A. 4 B. C. D.
13.在下列条件中不能保证是实数的是（ ）
A．n为正整数，a为实数； B．n为正整数，a为非负数；
C．n为奇数，a为实数； D．n为偶数，a为非负数．
14.将下列各数的序号填在相应的集合里。
①，②，③3.1415926，④－0.456，⑤3.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），
⑥0，⑦，⑧-，⑨，⑩
有理数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}；
正实数集合：{ ……}；
整数集合： { ……}；
15.（1）49的算术平方根是________．（2）62的平方根是________．（3）0.0196的算术平方根是_______．
（4）4的算术平方根是________；（5）9的平方根是________．（6）的算术平方根是________．
（7）36的平方根是________；（8）4.41的算术平方根是_______．（9）4的平方根是_______，4的算术平方根是________．（10）256的平方根是_______．（11）的算术平方根是
16.如图，数轴上表示数的点是
17.比较大小： 1.7 ; ; 2
18.若, 则= ；,且,则 .
19.已知，则
20.数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______
21.已知，那么的值为
22.若，则化简的结果是
23.函数中，自变量的取值范围是_________
24.函数的自变量的取值范围为
25.如果正方体的体积扩大为原来的27倍，则边长扩大为原来的 倍；若体积扩大为原来的2n倍，则边长扩大为原来的 倍.
26.如果，都是有理数，且，则= ， =
27.比较与的大小。
28.已知一个正方形ABCD的面积是4a2 cm2,点E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，依次连结E、F、G、H得一个正方形.
(1)求这个正方形的边长；(2)求当a=2cm时，正方形EFGH的边长大约是多少厘米？
29.观察下图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？⑵估计边长的值在哪两个整数之间。⑶把边长在数轴上表示出来。
30.已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.
31.已知，为实数，且满足，则的值时多少？
32.已知，满足，求的平方根.
33.已知，求的值.
34，阅读下面的文字,解答问题.
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用-1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
请解答:已知:10+=x+y,其中x是整数,且0
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