土的抗剪强度指标的随机场统计方法

闫澍旺，朱红霞，刘润

（天津大学建工学院，天津 300072）

E-mail ：profyan@eyou.com

摘 要：在利用随机场理论进行土工可靠度计算时，关键问题之一在于如何考虑土的抗剪强度指标的自相关性及互相关性。本文以抗剪强度指标的传统统计方法为基础，结合随机场理论，提出抗剪强度指标的随机场统计方法，在抗剪强度指标统计时既考虑单个指标的自相关性，又考虑指标之间的互相关性；并通过一工程算例，进一步说明此统计方法可使土工可靠度计算更加合理、简便。

关键词：抗剪强度指标，随机场，可靠度，相关性

1．前言

随着概率统计理论在岩土工程中的应用，如何选择合理的土性指标统计方法成为地基可靠度分析面临的主要问题之一。这是因为，与人工材料不同，土的性质既有天然的变异性又有一定的相关性，因此岩土工程中的可靠度分析必须要考虑土性指标的相关性。这种相关性包括两方面，即同一土性指标的自相关性及不同土性指标间的互相关特性。

在关于土的自相关性研究中，Vanmarcke(1976)首先将随机场理论引入岩土工程的可靠度分析之中，建立了土性剖面的随机场模型，即将土性剖面看作在空间上分布的随机场。这是符合土的性状的，这样处理可使问题大为简化。

对于土的抗剪强度指标的相关性问题，不同的学者有不同的考虑方法。有些学者建议在指标统计时考虑自相关性；而对互相关性，则在计算过程中加以考虑[1][2]。抗剪强度指标统计时可采用传统法或高大钊提出的综合回归方法[3]。传统法即分组求出内聚力和内摩擦角

c ϕtg 后再计算均值和子样方差，然后根据随机场理论求得均值方差；综合回归方法是在各试

验样本条件下，将所有试验数据作为一个样本，一次求得两个指标的均值与均值方差。无论是采用传统法还是综合回归方法，在实际应用中都有一定的困难。因为传统法在由子样方差求均值方差时，必然要研究c 、ϕtg 的自相关函数及互相关函数，这无疑增加了许多工作量；若采用综合回归方法，只有各抗剪强度试验子样相互时，回归得到的才是内聚力和内摩擦角的均值方差；且研究表明，此法适用于求τ、P 的回归系数的估计值ϕtg 、的方差情况，不能得到反映土的c ϕtg 、变异性的方差c [4]。

1

本课题得到国家自然科学基金（批准号：50379034）及高等学校博士学科点专项科研基金（批准号：

20020056012）资助。

- 1 -

ϕtg 、c 相关的概念考虑相关因素，提出了简化相关法。此

法与现今港口工程地基规范采用的τ平均法是一致的[5]。这种方法在假定ϕtg 、的情况下，将两个土性指标的互相关性的影响通过回归自动反映在子样方差中。因此，在进行土工可靠度计算时，就不用考虑指标间的互相关性。但是，这种方法没有考虑抗剪强度指标的自相关性。

c 本文首先以抗剪强度指标的传统统计方法为基础，引入随机场理论，提出抗剪强度指标的随机场统计方法，使之不必分别研究、c ϕtg 的自相关函数及互相关函数，而是通过回归直接得到均值方差，使计算大为简化；同时，将随机场理论引入简化相关法，在抗剪强度指标统计时既考虑单个指标的自相关性，又考虑指标之间的互相关性，从而使土工可靠度计算更加合理、简便。

2．抗剪强度指标的随机场统计方法

2.1 随机场理论的引入

土是自然历史的产物，地质成因条件的影响使土的性质与位置有关。为了使模拟土的性质的概率模型更符合实际，有必要引入随机场理论，把土性指标看成是随空间位置而变化的一族随机变量，即在空间上分布的随机场。适用这种需要而在近年由Vanmarcke(1976)发展的土性剖面的随机场模型，为解决这类问题的概率模拟，提供了一个有效的工具。

工程实践中应用的随机场可看作齐次随机场，它的均值是一个与坐标无关的常数)]([P Y E µ，为随机函数。)(P Y P 表示空间的一个点，相关函数是一个仅依赖于向量)])()()([(),(''µµ−−=P Y P Y E P P R 'PP 的函数，而与P 的位置无关，即有)(),(''PP R P P R =。为简单起见，只讨论一维各向同性的齐次随机场，这是符合土的实际情况的。这时，可用来表示，而且总是假定。

)(P Y )(z Y 0)]([=z Y E 一维齐次随机场在上的随机积分为

],[h z z +∫

+=

h

z z

h dz z Y h z Y )(1)( 该随机积分的均值：

∫

∫++==

=h

z z

h

z z

h dz z Y E h

dz z Y h

E z Y E 0)]([1])(1[

)]([ (1)

该随机积分的方差：

- 2 -

]

)()1(2[)()1(2)()1(2)(1)]()([1])(1[])(1[)]([02020002

121221212

2

∫

∫

∫∫∫∫∫∫∫

−=−=−=−====++++h h h h h

h z z

h

z z h z z h

z z h d h

h d h

h d R h h z dz z z R h dz dz z Y z Y E h dz z Y h E dz z Y h Var z Y Var ττρτ

σττρσττττ (2) 令 []

∫

−=

=

Γh

h d h

h

z Y Var h 0

2

2)()1(2

)()(ττρτ

σ (3)

式(2)建立了局部空间平均的方差与子样的点方差之间的关系。2σ)(τρ为相关函数，是[0,1]之间的一个系数，表明空间平均方差小于点方差，因此可称为方差折减函数。

方差减小的程度取决于和相关函数)(2h Γh )(τρ，当足够大时，h δ=Γ⋅)(2h h δ称为相关距离，在该距离内，土性强烈相关，大于该相关距离可认为基本不相关。在实际计算中，一般采用如下简化公式[6]：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤=Γ)

()(1)(2

u u

u h h

h h δδδ (4)

2.2 抗剪强度指标按随机场统计的传统法

将随机场理论引入抗剪强度指标的传统统计方法，在指标统计时考虑自相关性的影响。 首先取n(i=1~n)组抗剪强度数据，每组数据对应k(j=1~k)级荷载。即对某些特定的压力Pj ，j=1，2，……，k ，给出相应的若干组抗剪强度τ的试验值：ij τ，i=1，2，……，n 。按照摩尔强度包线：θτP c +=，这里为方便起见，记ϕθtg =。 2.2.1 抗剪强度指标的均值统计

由式(1)可知，随机场的局部平均的均值和原来的随机场的均值一样。所以，抗剪强度指标的均值按传统法、综合回归方法或)(z Y h )(z Y τ平均法统计均可，研究表明，这三种统计方法的均值相同[4]。下面给出ϕtg 、均值的计算公式：

c ∑==n

i i

tg tg n

1

1ϕ

µϕ

ϕµtg ——ϕtg 的平均值； (5)

- 3 -

∑==

n

i i

c c

n

11µ c µ——c 的平均值； (6)

式中：

∑∑==−−=

k j P j

k

j ij

P j

i P

P

tg 1

2

1)()(µτµϕ i tg ϕ——每组试验的ϕtg 的回归值；

i P i tg c i ϕµµτ−= ——每组试验的c 的回归值；

i c ∑==

k

j j

P P

k

11µ P µ——每组试验各级垂直压力Pj(j=1~k)的均值；

∑==k

j ij

k

i

1

1τ

µτ i τµ——每一组试验(i=1~n)各级压力(j=1~k)下抗

剪强度ij τ的平均值。

2.2.2 抗剪强度指标的方差统计

设ϕtg 、是平稳随机过程，且是联合平稳的，则在c ],[h z z +上相应的随机积分分别为： ∫

+=

h

z z

h dz z h z )(1)(ττ ∫

+=

h

z z

h dz z c h z c )(1)( ∫

+=h

z z

h dz z h z )(1)(θθ

对任一个确定的P 值，有τ也是平稳过程，且：

)()()(z P z c z h h h θτ+= 取方差运算，得：

)()]()([)()(2

22222222h P h h P h h c c c c c c θθθθθθττσσσσσΓ+Γ+Γ+Γ=Γ （7）

式中：

∫−=Γh

d h

h h 02)()1(2

)(ααρα

ττ ∫

−

=

Γh

c c

d h

h

h 0

2)()1(2)(ααρα

- 4 -

∫

−

=

Γh

d h

h

h 0

2

)()1(2

)(ααρα

θθ ∫−=Γh

c c

d h

h h 02)(1(2)(ααρα

θθ ∫

−

=

Γh

c c

d h

h

h 0

2)()1(2)(ααρα

θθ

2τσ、、分别为2c σ2

θστ、、c θ的“点方差”；c c θθσσ=为与c θ的“点协方差”；τρ、

c ρ、θρ分别为τ、、c θ的相关函数；θρc 、c θρ分别为和c θ、θ和的互相关函数。

c 通常按照传统法，对任一个i ，由),(ij j P τ， j=1，2，……，k ，可确定出一个和i c i θ。

因此从理论上说，由和i c i θ，i=1，2，……，n 可确定、、2c

σ2

θσθσc 、c θσ及)(αρc 、)(αρθ、)(αρθc 、)(αρθc ，进一步可得到方差函数、及协方差函数、。这样做到了在抗剪强度指标统计时考虑自相关性，但要想在可靠度计算中考虑

互相关性，就不可避免地要去研究互相关函数。这无疑会给计算增加许多工作量。

)(22h c c

Γσ)(2

2h θθσΓ)(2h c c θθσΓ)(2h c c θθσΓ一般来说，实际问题中的z 、h 总是确定的，因此、)(z c h )(z h θ就退化为随机变量。因

此，从实用的角度考虑，可不必分别获得、、2c σ2

θσθσc 、c θσ及)(αρc 、)(αρθ、)(αρθc 、)(αρθc ，而只需根据式（7），直接回归得出、及就可用于可靠度的计算。

)(22h c c

Γσ)(2

2h θθσΓ)()(22h h c c c c θθθθσσΓ+Γ实际计算中，可先按照考虑自相关性的方法求出k 个，然后利用数据，j=1，2，……，k ，按式（7）进行二项式的回归计算，这用计算机程序很容

易实现。

)(22h j j ττσΓ))(,(22h Pj j j ττσΓ值得注意的是，在统计时，所用到的2j τσij τ应该是修正过的值，即用每组回归出的、

i c i θ(i=1~n)，把每组数据ij τ(j=1~k)都修正到i j i ij P c θτ+=直线上去。认为每组数据都严格服从库仑定律，此时，式（7）才成立。

下面讨论如何求。根据随机场理论，可按式（4）求得。那么理论上首先要根据试验所得的特定的压力Pj 下对应的抗剪强度)(2h j τΓ)(2h j τΓij τ，分别求出对应的相关距离j u δ。但是考虑到这n(i=1~n)组试验样本应来自于同一土层母体，因此用不同压力Pj （j=1，2，……，

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ij τ求得的相关距离值应该是相等的，即只有一个相关距离u δ。进而利

用式（4）求得的也应该是相等的，即。实际计算中，相关距离)(2h j τΓ)()(22h h j ττΓΓ＝u δ可近

似地取为平均值，即∑==

k

j j

u u k

1

1

δ

δ。

这种土性指标的随机场统计方法考虑了指标的自相关性，而互相关性可根据回归得到的

进一步在可靠度计算中考虑。

)()(22h h c c c c θθθθσσΓ+Γ2.3 抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法

将随机场理论引入简化相关法（τ平均法），在考虑抗剪强度指标互相关性的同时，考虑自相关性的影响。

抗剪强度指标均值的统计与 2.2.1节的统计方法相同，下面讨论方差的统计。在用JC 法计算可靠度时，考虑将、)(z c h )(z h θ作为的随机变量，因此式（7）可化为：

)

()()(2222222h P h h c c θθττσσσΓ+Γ=Γ （8）

比较式（7）及式（8），可看出两个土性指标的互相关性的影响可通过式（8）的回归自动反映在均值方差中。

先按照2.2.2节考虑自相关性的方法求出k 个，然后利用数据，

j=1，2，……，k ，按式（8）用最小二乘法进行回归计算，得到和如下： )(22h j j ττσΓ))(,(222h Pj j j ττσΓ)(22h c c

Γσ)(2

2h θθσΓ∑∑

∑===Γ−

Γ∆

=Γk

j k

j k

j j j h P h P k

h j

j

j

j 1

2

2

1

12

2222

2

)]()([1

)(τ

τττθθσσσ

)()(1)(1

)

(2

211

22

2

22h P k h k

h k

j k

j j c c j j θθττσσσΓ−Γ=Γ∑∑

==

式中，

∑

∑==−=∆k

j k

j j j P

P k

121

24

)

(

这样得到的和可作为相互的随机变量直接应用于可靠度的计算，而不必在可靠度计算中再考虑土性指标间互相关性的影响。

)(22h c c

Γσ)(22h θθσΓ3．可靠度算例

以天津新港北港池地区的土质统计资料为基础，用随机场方法统计其抗剪强度指标，并

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3.1 计算条件

长方形基础长度L =10m ，宽度=4m ，埋置深度=1m 。基础上作用的有效垂直荷载=120KPa ，变异系数0.2；水平荷载=15KPa ，变异系数0.125。持力层最大深度Zmax=6.0m 。

B D v p h p 3.2 土层强度统计特性

长方形基础以下0～6m 为粘土层，此土层的容重变异性很小，为简化起见暂不考虑，取其均值为17.74 kN/m 3。采用固结快剪试验结果，试样间距0.5m ，用相关函数法求得抗剪强度τ的相关距离为τδ=0.152m 。

滑动面最大切割深度约为4m ，在此深度范围内对土性指标进行空间平均特性统计，各种统计方法得出的抗剪强度指标分别如表1、表2所示：

表1传统法 未考虑自相关

考虑自相关 土性指标

平均值 “点”标准差“点”变异系数均值标准差 均值变异系数 c (kPa) 18.65 6.693 0.359 3.8 0.207

φ(。)

14.728 2.41 0.1 1.392 0.094 c 、φ协方差 -0.188 -0.063

表2 简化相关法

原简化相关法

按随机场统计的简化相关法 土性指标

平均值 “点”标准差“点”变异系数均值标准差 均值变异系数c (kPa) 18.65 6.333 0.34 3.656 0.196

φ(。)

14.755 1.33 0.09 0.769 0.052 从表1和表2的抗剪强度指标统计结果可看到：

（1）各种统计方法得到的抗剪强度指标的均值近似相等。

（2）若不考虑指标的自相关性，则原简化相关法的“点”标准差小于传统法统计的“点”标准差，这是因为简化相关法考虑了、c ϕ的相关性。

（3）抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法得到的标准差小于原简化相关法统计的

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（4）抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法小于传统法统计的均值标准差，这也是因为考虑了指标的互相关性。

3.3 地基承载力的可靠度计算

本例采用Hansen 公式计算极限承载力，考虑的随机变量有水平荷载，竖直荷载，内聚力和内摩擦角h p v p c ϕ。各随机变量都符合正态分布。极限状态方程为：

v q q q q v h p ctg c i S d N ctg c D i BS N P P c g Z −⋅−⋅++==ϕϕγγϕγγγ)(2

1),,,( 式中，B 为基础宽度，D 为基础埋深，γ为地基土的容重，

这三个参数都作为常量考虑；、为承载力系数，是内摩擦角γN q N ϕ的函数；、为与基础形状有关的系数；、为与基础底面作用合力的倾斜率有关的倾斜系数；为与基础埋深有关的深度系数。

γS q S γi q i q d 采用国际“结构安全度联合委员会”（JCSS ）推荐的JC 法计算可靠度指标β。JC 法考虑了极限状态方程中各基本变量的实际概率分布，将功能函数在验算点处用泰勒级数展开并使之线性化，最后求解可靠度指标，是一种精度较高、较实用的近似概率分析方法。

JC 法假定随机变量之间是相互的，本文提出的抗剪强度指标的随机场统计方法在土性指标统计时就考虑了指标之间的相关性，所以可直接应用JC 法计算可靠度指标。若抗剪强度指标按传统法统计，若要在可靠度计算中考虑指标间的互相关性，可采用改进的JC 法[7]。

根据上节中不同方法统计的抗剪强度指标，按照土性指标相关性的不同考虑方式，分六种情形对本例中的地基承载力进行可靠度分析，结果见表3。

表3计算结果汇总表 计算结果 序

号 抗剪强度指标 统计方法 考虑 自相关 考虑 互相关 β f P (%) K 1 1.995 2.302%

2 √

3.2660.055% 3 √ 2.172 1.493% 4

传统法

√ √ 3.3540.040% 5

简化相关法 √ 2.173 1.4% 6 按随机场统计的简化相关法√

√ 3.5370.020% 2.37 注：表中，β为可靠度指标；为失效概率；f P K 为按定值法求得的安全系数。

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（1）当采用传统的抗剪强度指标统计方法时，若既不考虑指标的自相关性，又不考虑指标的互相关性，则所得的可靠度指标偏小，失效概率偏大，达到2.302%。与传统的安全系数2.37相比，相差甚远，这在工程设计中是难以为人们接受的。

（2）当采用传统法时，若分别考虑指标的自相关性和互相关性，则所得的可靠度指标都有一定的提高。相比较下，考虑抗剪强度指标的自相关性对可靠度指标的影响较之考虑互相关性要大一些。

（3）采用按随机场统计的传统法，在土性指标统计时考虑自相关性，在可靠度计算中考虑互相关性，得到的失效概率为0.040%，与传统的安全系数较为匹配。

（4）原简化相关法只考虑了抗剪强度指标的互相关性，使计算所得的可靠度指标有一定提高，但仍偏小；按随机场统计的简化相关法既考虑了自相关性又考虑了互相关性，所得的失效概率最小，为0.020%，与传统的安全系数相比，是较为合理的。

（5）上表中第4种情形和第6种情形（即本文提出的两种抗剪强度指标的随机场统计方法）计算所得的可靠度指标很接近，说明虽然这两种方法虽然对相关性考虑方式不同，但所得结果较为一致，在工程应用中都是可行的。

4．结语

（1）在应用随机场理论进行可靠度计算时，土性指标的自相关性和指标间的互相关性不容忽视。

（2）本文提出的抗剪强度指标按随机场统计的传统法和按随机场统计的简化相关法，分别从不同角度对相关性加以考虑，较之传统的统计方法，更为全面和合理。

（3）两种统计方法所得的可靠度指标接近，且与传统的安全系数相匹配，证明在土工可靠度计算时，两种方法都可作为合理的抗剪强度指标统计方法。

参考文献

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- 9 -[8] 高大钊.土力学可靠性原理[M].北京:中国建筑工业出版社,19.

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[11]刘润,闫澍旺.海工结构物浅基础稳定性的可靠度分析[J].海洋工程,2001,19(2):23-28.

The stochastic statistical methods

for characteristics of shear strength

YAN ShuWang ZHU HongXia LIU Run

（School of Constructional Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China）

Abstract

When applying random field theory to reliability analysis, one of the most important problems is how to consider the auto correlation and cross correlation of the shear strength of soils. In this paper, the stochastic statistical methods for characteristics of shear strength are presented based on the traditional statistical methods. Both the auto correlation of the individual index and the cross correlation between the indexes can be considered when using the stochastic statistical methods. It is proved that the methods can make the reliability analysis more reasonable and convenient by calculating an example of engineering.

Keywords: shear strength, random field, reliability, correlation

作者简介：

闫澍旺：男，1950年生，教授，主要从事岩土工程专业的研究和教学工作。

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