偏微分方程数值解法(3)

一、一阶双曲型方程的差分格式

    一阶双曲型方程的初值问题为

a为常数，亦称（1）为对流方程。称为（1）的特征线， 为常数，沿特征线

u (x, t)的方向导数

即u (x, t)沿特征线为常数，再由 （2.），得初值问题（1），（2）的解

这是个单向的传播波，a>0时，波形（x）沿x轴方向传播，为右传播波，a < 0时，为左传播波，在传播过程中，波形均不发生变化。

二阶波动方程

若令v = u，w = aux则得一阶双曲型方程组

再令，则得

可见，二阶双曲型方程可化为一阶双曲型方程组。

    下面建立（1）的差分格式，作网格线

对区域G：进行剖分，其中h = x为空间步长， = t为时间步长。

    a）逆风格式

    ut (xj, tn)用向前差商代替，ux（xj, tn）用向前或向后差商代替，表示u(xj, tn)近似值，得

或

令 =  / h，得

                                                    （3）

                                                     (4)

截断误差均为，其节点分布见图1。

图1

    用Fourier方法讨论（3）的稳定性：令，代入（3）得传播因子

当a>0时，恒有，格式（3）不稳定，当a<0且a  1时，，格式（3）稳定。同样可得格式（4）在a <0时不稳定，在a >0且a  1时稳定。称（3）、（4）为一阶双曲方程（1）的逆风差分格式，由于稳定性的要求，a >0时只能用格式（4），a < 0时只能用式（3）。为了编制计算程序方便，可将（3）、（4）改写为统一形式：

                            （5）

稳定性条件为。

    b) Lax-Friedrichs格式

                                    （6）

该格式构造于1954年，用到的技巧，截断误差为，节点分布见图2，传播因子

当时，，即格式（6）在时稳定。

    c）Lax-Wendroff格式

                        （7）

图2                        图3

该格式构造于1960年，它除使用Taylor级数展开方法外，还反复利用了微分方程本身，其节点分布如图3，截断误差为，过渡因子

当时有，即格式（7）在条件下稳定。该格式精度高，节点分布对称，应用上倍受重视。

    d）古典隐式格式

    前面介绍的均为显式格式，且都是条件稳定格式，计算时，步长的选取受到一定，而隐式格式无此。

    ut用向后差商代替，ux用中心差商代替得

                                                （8）

截断误差为，其节点分布见图7.2.4，过渡因子

对任意的网格比利时，均有，故差分格式（8）是无条件稳定格式。

    e）Grank-Nicholson型格式

                            （9）

它是在（）处展开，由及中心差商以式而得到的，截断误差为，节点分布见图5，是一个无条件稳定格式。

    显式格式计算简便，但都是条件稳定格式，选定空间步长h后，为确保格式的稳定，时间步长的选取要受，使之满足稳定性条件，用隐式格式求解时，每计算一个时间层的u值时，需用追赶法求解一个三对角方程组，计算量增大，隐格式是一个无条件稳定格式，从而时间步长 可选得大些，但也要受计算精度或其它条件的制约。另外，每一个时间层都对应一个方程组，因此隐格式适用于初边值问题和具有周期性条件的初值问题，一般的初值问题不适用。

图4                   图5

二、二阶双曲型方程的差分格式

这里将直接构造方程的差分格式

    a）显式格式

    utt, uxx均用中心差商代替之，得

                                （10）

即

图6

其中网格比，截断误差，节点分布见图6，这是三层显示格式，当n 2时，可用（10）计算，n = 1时，欲计算需借助于初值条件的离散化，以后再做介绍。三层差分格式须引入新的未知量，化为二层格式后，再用Fourier方法讨论其稳定性，推导从略，这里仅给出差分格式（10）的稳定性条件：。

b）隐格式

利用关系

可得三层隐式格式：

            （7.2.11）

即

    截断误差是，节点分布见图7，可证明此格式绝对稳定。已知n层，n+1层的u值，由格式（11），借助追赶法，可求得n + 1层的u值。

图7.2.7