参与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，
1．（5分）设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
| A． | （﹣1，0） | B． | （﹣3，﹣1） | C． | [﹣1，0） | D． | （﹣∞，﹣1） |
| 考点： | Venn图表达集合的关系及运算．343780 |
| 专题： | 计算题；图表型． |
| 分析： | 先解不等式求出A={x|﹣3＜x＜0}，再通过图象知道所求为A，B的公共部分，即取交集，结合集合B即可得到答案． |
| 解答： | 解：因为x（x+3）＜0⇒﹣3＜x＜0 ∴A={x|﹣3＜x＜0}， 由图得：所求为A，B的公共部分，即取交集． ∵B={x|x＜﹣1}， ∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}， 故选：B． |
| 点评： | 本题主要考查不等式的解法以及Venn图表达集合的关系及运算．这一类型题目一般出现在前三题中，属于送分题． |
2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
| A． | y=﹣x3，x∈R | B． | y=sinx，x∈R | C． | y=x，x∈R | D． |
| 考点： | 函数的图象与图象变化；奇函数．343780 |
| 分析： | 根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析． |
| 解答： | 解： A在其定义域内既是奇函数又是减函数； B在其定义域内是奇函数但不是减函数； C在其定义域内既是奇函数又是增函数； D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数； 故选A． |
| 点评： | 处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案． |
3．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2（） 则（ ）
| A． | a＞b＞c | B． | b＞a＞c | C． | c＞a＞b | D． | b＞c＞a |
| 考点： | 对数的运算性质；对数值大小的比较．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与0比较即可． |
| 解答： | 解：∵a=20.5＞20=1， 0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1， c=log2（）＜log21=0， ∴a＞b＞c． 故选A． |
| 点评： | 本题考查对数的运算性质，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． |
4．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
| A． | 若α≠，则tanα≠1 | B． | 若α=，则tanα≠1 | C． | 若tanα≠1，则α≠ | D． | 若tanα≠1，则α= |
| 考点： | 四种命题．343780 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题． |
| 解答： | 解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠ 故选C |
| 点评： | 考查四种命题的相互转化，命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特殊与结论的位置，本题是一个基础题． |
5．（5分）（2011•金台区模拟）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（ ）
| A． | （1，2） | B． | （2，3） | C． | （e，3） | D． | （e，+∞） |
| 考点： | 函数的零点与方程根的关系．343780 |
| 专题： | 数形结合． |
| 分析： | 分别画出对数函数lnx和函数的图象其交点就是零点． |
| 解答： | 解：根据题意如图： 当x=2时，ln2＜1， 当x=3时，ln3＞， ∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）， 故选B． |
| 点评： | 此题利用数形结合进行求解，主要考查了函数的零点与方程根的关系，是一道好题． |
6．（5分）若函数y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（ ）
| A． | 增函数 | B． | 减函数 | C． | 先增后减 | D． | 先减后增 |
| 考点： | 函数单调性的判断与证明．343780 |
| 专题： | 计算题；数形结合． |
| 分析： | 根据y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，得到a＜0，b＜0，对二次函数配方，即可判断y=ax2+bx在（0，+∞）上的单调性． |
| 解答： | 解：∵y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数， ∴a＜0，b＜0， ∴y=ax2+bx的对称轴方程x=﹣＜0， ∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数． 故答案B |
| 点评： | 此题是个基础题．考查基本初等函数的单调性，考查学生熟练应用知识分析解决问题的能力． |
7．（5分）已知，则f（3）=（ ）
| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | 4 |
| 考点： | 函数的值．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据解析式先求出f（3）=f（5），又因5＜6，进而求出f（5）=f（7），由7＞6，代入第一个关系式进行求解． |
| 解答： | 解：根据题意得，f（3）=f（5）=f（7）=7﹣4=3， 故选A． |
| 点评： | 本题考查了分段函数求函数的值，根据函数的解析式和自变量的范围，代入对应的关系式进行求解，考查了观察问题能力． |
8．（5分）（2012•四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 指数函数的图像变换．343780 |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论． |
| 解答： | 解：由于当x=1时，y=0，即函数y=ax﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D． 故选C． |
| 点评： | 本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题． |
9．（5分）（2011•河南模拟）若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）＜0的解集是（ ）
| A． | （﹣1，0） | B． | （﹣∞，0）∪（1，2） | C． | （1，2） | D． | （0，2） |
| 考点： | 奇偶性与单调性的综合．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先画出函数f（x）的图象，根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位，画出其图象求解． |
| 解答： | 解：先画出函数f（x）的图象， 根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位， 画出其图象，如图所示，f（x﹣1）＜0的解集是（0，2） 故答案为：（0，2） |
| 点评： | 本题主要考查函数的图象变换和数形结合法解不等式． |
10．（5分）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为，则a等于（ ）
| A． | B． | 3 | C． | 3 | D． | 9 |
| 考点： | 对数函数的值域与最值．343780 |
| 专题： | 压轴题；函数的性质及应用． |
| 分析： | 由已知中底数的范围，可以判断出对数函数的单调性，进而可求出函数在区间[a，3a]上的最大值与最小值，结合已知构造方程，解方程可得答案． |
| 解答： | 解：∵a＞1， ∴函数f（x）=logax在区间[a，3a]上单调递增 ∴f（x）max=f（3a），f（x）min=f（a）， ∴f（3a）﹣f（a）=loga3a﹣logaa=loga3= 解得a=9 故选D |
| 点评： | 本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键． |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，
11．（5分）函数的定义域为 [﹣1，0）∪（0，+∞） ．
| 考点： | 函数的定义域及其求法．343780 |
| 专题： | 计算题；函数的性质及应用． |
| 分析： | 直接利用分式的分母不为0，无理式大于等于0，求解即可得到函数的定义域． |
| 解答： | 解：要使函数有意义，必须，解得x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）． 函数的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）． 故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）． |
| 点评： | 本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力． |
12．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，则实数m= 2 ．
| 考点： | 幂函数的性质．343780 |
| 专题： | 计算题；阅读型． |
| 分析： | 因为给出的函数是幂函数，所以系数等于1，又函数在x∈（0，+∞）时为减函数，所以幂指数小于0，联立后可求解m的值． |
| 解答： | 解：由当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，得：，解得：m=2． 故答案为2． |
| 点评： | 本题考查了幂函数的性质，考查了幂函数的定义，解答此题的关键是对幂函数的定义和性质的掌握，此题是基础题． |
13．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则m的取值范围为 [，+∞） ．
| 考点： | 利用导数研究函数的单调性．343780 |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则恒有f′（x）≥0，由此即可求得a的范围． |
| 解答： | 解：f′（x）=3x2﹣2x+m． 因为函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，所以f′（x）=3x2﹣2x+m≥0在R上恒成立， 故有△=4﹣12m≤0，即m． 所以m的取值范围为[，+∞）． 故答案为[，+∞） |
| 点评： | 本题考查导数与函数单调性的关系，属基础题，难度不大．可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）． |
14．（5分）函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．
| 考点： | 函数奇偶性的性质．343780 |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可． |
| 解答： | 解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数， 所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）． 所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4） 即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a 所以a=4． 故答案为：4 |
| 点评： | 本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． |
15．（5分）函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，则f（11）= ﹣2 ．
| 考点： | 函数的值．343780 |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 利用f（x+2）=﹣f（x），即可把f（11）化为﹣f（1），进而得出答案． |
| 解答： | 解：∵函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），∴f（11）=f（8+3）=f（3）=f（1+2）=﹣f（1）=﹣2． 故答案为﹣2． |
| 点评： | 充分利用已知条件和函数的周期性是解题的关键． |
三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）计算：
（1）
（2）（a＞0，b＞0）
| 考点： | 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）利用对数运算法则进行计算； （2）利用有理数指数幂的运算法则进行计算； |
| 解答： | 解：（1）原式=+log50.25++ =++3 =log525++3=2++3=． （2）原式==4a． |
| 点评： | 本题考查对数运算法则及有理数指数幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决该类题目的基础． |
17．（12分）已知p：﹣2≤x≤3； q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 通过p是q的充分不必要条件，列出关系式，即可求解m的范围． |
| 解答： | 解：因为p：﹣2≤x≤3； q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），p是q的充分不必要条件， 所以，所以m≥2．当m=2时，p是q的充要条件，又m＞0 所以实数m的取值范围：（2，+∞）． |
| 点评： | 本题考查充要条件的应用，注意两个命题的端点值不能同时成立，这是易错点． |
18．（12分）m为何值时，f（x）=x2+2mx+3m+4
（1）有且仅有一个零点
（2）有两个零点且均比﹣1大．
| 考点： | 函数的零点；函数零点的判定定理．343780 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点，二次函数图象开口向上，可得△=0，求出m的值； （2）有两个零点且均比﹣1大，根据方程根与系数的关系，列出不等式，求出m的范围； |
| 解答： | 解：（1）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点 说明二次函数与x轴只有一个交点，可得 △=（2m）2﹣4×（3m+4）=0解得m=4或m=﹣1； （2）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有两个零点且均比﹣1大． 函数开口向上，对称轴为x=﹣m， ∴，即 解得﹣5＜m＜﹣1； |
| 点评： | 此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用，是一道基础题； |
19．（13分）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）极值．
| 考点： | 函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质．343780 |
| 专题： | 导数的概念及应用． |
| 分析： | （1）先求出f′（x），从而得到g（x），由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x）总成立，从而可求出b，c值； （2）由（1）写出g（x），求g′（x），由导数求出函数g（x）的单调区间，由此可得到极值． |
| 解答： | 解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，g（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+bx2+cx﹣3x2﹣2bx﹣c=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c， 因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x）， 即﹣x3+（b﹣3）x2﹣（c﹣2b）x﹣c=﹣[x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c]， 也即2（b﹣3）x2=2c， 所以b=3，c=0． （2）由（1）知，g（x）=x3﹣6x， g′（x）=3x2﹣6=3（x+）（x﹣），令g′（x）=0，得x=﹣或x=， 当x＜﹣或x＞时，g′（x）＞0，当﹣＜x＜时，g′（x）＜0， 所以g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减， 所以当x=﹣时，g（x）取得极大值g（﹣）=4；当x=时，g（x）取得极小值g（）=﹣4． |
| 点评： | 本题考查导数与函数的极值及函数的奇偶性，可导函数f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0），且导数在x0左右两侧异号． |
20．（13分）已知函数f（x）=ax，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．
| 考点： | 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．343780 |
| 专题： | 导数的综合应用． |
| 分析： | （1）当a=1时，求出函数的解析式及导函数的解析式，代入x=2，可得切点坐标和切线的斜率（导函数值），进而可得直线的点斜式方程． （2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=，讨论f′（x）在各区间上的符号，进而由导函数符号与原函数单调区间的关系得到答案． |
| 解答： | 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x， ∴f′（x）=3x2﹣3x， ∴f（2）=3，即切点坐标为（2，3） f′（2）=6，即切线的方程为6 故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即6x﹣y﹣9=0 （2）∵f（x）=ax， ∴f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）， 令f′（x）=0，则x=0，或x= ∵a＞0，即＞0， ∵当x∈（﹣∞，0）∪（，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0； ∴函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单调递减区间为（0，） |
| 点评： | 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档． |
21．（13分）（2004•重庆）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）
| 考点： | 基本不等式在最值问题中的应用．343780 |
| 分析： | 将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值 |
| 解答： | 解：设生产x吨产品，利润为y元， 则y=px﹣R=（50000+200x） =+24000x﹣50000（x＞0） +24000， 由y'=0，得x=200 ∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0 ∴当x=200时，ymax=3150000（元） 答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元） |
| 点评： | 本题考查建立数学模型，三次函数的最值用导数来求． |
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