知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高

编稿：李霞      审稿：娟

【学习目标】

1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；

2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；

4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.

【知识络】

【要点梳理】

要点一：空间向量的有关概念

空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作终点；

一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．

向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．

作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．

单位向量：长度为1的空间向量，即．

相等向量：方向相同且模相等的向量．

相反向量：方向相反但模相等的向量．

共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．

平行于记作，此时．=0或= ．

共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

要点诠释：

（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；

（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．

（4）当=0或 时，向量平行于，记作；当 时，向量垂直，记作．

要点二：空间向量的基本运算

空间向量的基本运算：

共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．

共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．

要点诠释：

（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．

（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．

空间向量分解定理：

.

要点诠释：

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

要点四：空间向量的直角坐标运算

空间两点的距离公式

若，，则

①；

②；

．

空间向量运算的的坐标运算

设，，则

① ；

② ；

③ ；

④ ；

⑤ ；

．

空间向量平行和垂直的条件

若，，则

①，，；

②．

要点诠释：

的坐标的确定：

    过．如图：

（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

，其中θ的范围是．

（３）与任意空间向量平行或垂直．

要点五：用向量方法讨论垂直与平行

上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 

（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．

要点六：用向量方法求角

①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。

②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。

要点七：用向量方法求距离    

（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．

（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．

要点八：立体几何中的向量方法

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）

3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）

用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤

1．建立适当的空间直角坐标系；

2．写出相关点的坐标及向量的坐标；

3．进行相关的计算；

4．写出几何意义下的结论．

【典型例题】

类型一：空间向量的概念及运算

例1． 如图，在平行六面体，，则下列向量中与相等的向量是（   ）

A．  

  ． 

【思路点拨】本题以向量的加减法为前提，考查了向量相等的概念：

（1）相等向量指的是方向相同且模相等的向量；

的灵活应用．

【答案】A

【解析】

法一：

．

法二：

；

；

；

．

故选A．

【总结升华】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途． 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加减法，考查学生的空间想象能力．

举一反三：

【变式1】如图，在三棱柱的中点，化简下列各式：

；

；

．

；

（2）；

．

是（   ）

A． 矩形          B． 菱形      C．直角梯形    D．等腰梯形

【答案】B

类型二：空间向量的直角坐标运算

．

；

的余弦值；

的值．

【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算．

，

 =（－1，0，2）．

，

．

，

．

，，2），

，－4），

），

)，－4）

．

举一反三：

．

的值是（　　）

【答案】A　

【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是(    )

A．钝角三角形 ．锐角三角形 ．直角三角形 ．不确定

【答案】B  

由题意知，过点A的棱两两垂直，设，，，

 则，

 故∠CBD为锐角．

同理，∠BCD、∠CDB均为锐角．

 所以△BCD为锐角三角形．

类型三：共线和共面向量定理的应用

． 求证：

共面；

．

共面；

（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明．

【证明】

，

，

共面．

，

，

，

．

，

，

．

即可．在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试．

举一反三：

的值．

．

【变式2】(2015秋  辽宁校级月考)下列各组向量共面的是（　　）

=(0，1，1)

=(0，0，1)

=(1，0，1)

=(0，1，1)

【答案】A

类型四：空间向量在立体几何中的应用

例4． 四棱锥中，底面是矩形，平面，，． 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点．

；

所成的角的正弦值；

的距离．

【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题，再通过向量运算判断向量的平行、垂直及计算向量的夹角，最后再翻译成图形语言．

的法向量垂直；

的法向量的夹角的余弦值的绝对值；

的距离．

【解析】

（1）方法一：

是所作球面的直径，

。

，

，

，

，

，

，

．

方法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，则

，，， ，，．

∴，

，则

，

，

．

，

．

的一个法向量，

由可得：，

令，则。

设所求角为，则，

．

（3）由题意可得，．

在中，,

∴,则, ，

∴所求距离等于点到平面距离的，

设点到平面距离为，则，

．

【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题．

举一反三：

【变式1】正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图②所示)．在图②中求平面ABD与平面EFD的夹角的余弦值．

【答案】由已知CD⊥AD，CD⊥BD，

∴  ∠ADB就是直二面角A-CD-B的平面角，

∴  AD⊥BD．

以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D(0，0，0)、A(0，0，2)、B(2，0，0)、C(0，，0)，

E、F分别是AC、BC的中点，

∴  E(0，，1)，F(1，，0)．

设(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．

由，  得  令y＝1．

得  ∴  ．

同理可求得平面ABD的一个法向量n＝(0，1，0)，

∴  ．

∴  平面ABD与平面EFD夹角的余弦值为．

【变式2】（2016  嘉兴一模）已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角。当的值取到最大值时，二面角A—CD—B的大小为（ ）

A．30° ．45° ．60° ．90°

【答案】A

过A作AO⊥平面BCD，连接BO并延长交CD于E，连接AE，

则BE是AB在底面BCD上的射影，

则∠ABE=60°，

∵AB⊥CD，AO⊥CD，

∴CD⊥平面ABE，即AE⊥CD，

则∠AEB是二面角A—CD—B的平面角，

则，

要使的值取到最大值，则取得最大，

由正弦定理得，

∴当sin∠BAE取得最大值，即当∠BAE=90°时取最大值。

此时∠AEB=30°，

故选A

。

；

，并证明你的结论．

【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各个已知点的坐标： 

的方程，解方程即可．

的坐标．

【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则

所以

的一个法向量．

，

．

．

（Ⅱ）若在，

，等价于

．

为的中点时，满足题设要求。

【总结升华】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

举一反三：

【变式】(2014  湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)

(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；

(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【解析】

(Ⅰ)证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，

∴＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)

λ＝1时，＝(－2，0，2)，＝(－1，0，1)，

∴＝2，

∴BC1∥FP，

∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，

∴直线BC1∥平面EFPQ；

(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为＝(x，y，z)，则，

∴取＝(λ，－λ，1)．

同理可得平面MNPQ的一个法向量为＝(λ－2，2－λ，1)，

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，

则＝λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，∴λ＝1±．

∴存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．