天津市河东区2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

班级：_________  姓名：_________  分数：_________

一、单选题（本大题共9小题，共36分）

1、双曲线的焦点坐标为（   ）

A.  B.  C.  D. 

2、如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（   ）

A.  B.  C.  D. 

3、已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（   ）

A.  B.  C.  D. 

4、已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，过点向准线作垂线，垂足为，若，则（   ）

A.  B.  C.  D. 

5、已知，分别为双曲线：的左，右焦点，双曲线上的点满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D. 

6、已知数列是公差不为零的等差数列，若，且，设，则数列的前项和为（   ）

A.  B.  C.  D. 

7、在正项等比数列中，，则数列的前项和为（   ）

A.  B.  C.  D. 

8、已知数列满足，且，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D. 

9、我国古代数学名著算法统宗记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程？在这个问题中，第四天所走的路程为（   ）

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

10、设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且是与的等比中项，则数列的公差为______．

11、若数列的通项公式是，则的前项和           ．

12、已知数列的前项和为，若，，则的最大值为______．

13、已知是数列的前项和，，则          ；若，则          ．

14、已知椭圆：，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为______．

15、若方程所表示的曲线为，给出下列命题：

若为椭圆，则实数的取值范围为；

若为双曲线，则实数的取值范围为；

曲线不可能是圆；

若为椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为

其中真命题的序号为          把所有正确命题的序号都填在横线上

三、解答题（本大题共5小题，共40分）

16、本小题分

已知椭圆的方程为，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标．

17、本小题分

已知正项数列的前项和为，且．

求，；

求证：数列是等差数列．

18、本小题分

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点，为抛物线的焦点．

Ⅰ求抛物线的标准方程；

Ⅱ若，为抛物线上一动点，求的最小值．

19、本小题分

已知中心在原点，焦点为，的椭圆经过点．

求椭圆方程；

若是椭圆上任意一点，交椭圆于点，交椭圆于点，求的值．

20、本小题分

已知等差数列中，，，数列满足，．

Ⅰ求，的通项公式；

Ⅱ任意，，求数列的前项和．

参及解析

1.答案： 

解析：双曲线，可得，，则，

所以双曲线的焦点坐标为，

所以选：．

利用双曲线方程求解，，推出，即可得到焦点坐标．

本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．

2.答案： 

解析：

本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．

根据已知条件，结合抛物线焦点和准线的性质，即可求解．

抛物线的准线是直线，

抛物线的焦点坐标为．

所以选：．

3.答案： 

解析：

本题考查双曲线的方程的求法及双曲线的性质，属于基础题．

由焦点坐标可设双曲线的方程，进而求出渐近线的方程，由题意可得，的关系，再由焦点坐标及，，之间的关系可得，的值，即可求出双曲线的方程．

由题意可得焦点在轴上，设双曲线的方程为：，

所以可得渐近线的方程为，

由题意可得

解得，，

所以双曲线的方程为．

故本题选B．

4.答案： 

解析：根据题意作出简图，如图所示：

根据抛物线的定义可知，结合，可得为等边三角形，

所以，

在中，因为，所以，

所以．

所以选：．

根据题意作出简图，可得为等边三角形，在中求解可得，从而得解．

本题考查了抛物线的定义及其简单几何性质，属于基础题．

5.答案： 

解析：

根据题意画出图形，得出轴，在直角三角形中，利用求得、的关系，求出双曲线的离心率．

本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是中档题．

设，，

双曲线上的点满足，的中点在轴上，

可得，所以，

即有轴，的横坐标为，如图所示；

令，可得，

在直角三角形中，，

可得，

即为，

即，，

解得，或不合题意，舍去；

双曲线的离心率是．

所以选：．

6.答案： 

解析：设等差数列的公差为，则

由，且可得：

，

且，即，

解得：，，

所以，

所以，

所以数列的前项和，

所以选：．

根据等差数列的基本量运算得，进而得，利用裂项相消法求和即可．

本题考查等差数列、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．

7.答案： 

解析：正项等比数列中，，

所以，

则数列的前项和．

所以选：．

由已知结合等比数列的性质先求出，然后结合对数的运算性质即可求解．

本题主要考查了等比数列的性质，还考查了对数的运算性质，属于基础题．

8.答案： 

解析：因为数列满足且，

所以，，

所以，，

又， 

所以，，

又，所以 

所以，，，，，， 

所以数列是周期为的周期数列，所以．

所以选：．

根据数列的递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果．

本题考查数列的递推公式，考查周期数列，属于中档题．

9.答案： 

解析：由题意，每天所走的路程构成公比为的等比数列，

设第一天走了里，则，

解得，

所以第四天走的路程为．

所以选：．

由题意，每天所走的路程构成公比为的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求首项，再由等比数列的通项公式可求．

本题主要考查了等比数列的定义及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

10.答案： 

解析：由，得，即．

又，，成等比数列，，

即，解得，或．

当时，，与矛盾，

．

所以答案为：．

由求得，再由是与的等比中项列式求数列的公差．

本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．

11.答案： 

解析：

根据题意，由等比数列的定义可得数列是首项，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式计算可得答案．

本题考查数列的求和，涉及等比数列的定义和判断方法，属于基础题．

根据题意，若数列的通项公式是，

则数列是首项，公比为的等比数列，

则的前项和，

所以答案为：．

12.答案： 

解析：因为，，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以前项和，

由二次函数的性质可知当时，取得最大值，最大值为．

所以答案为：．

由等差数列前项公式及二次函数的性质求解即可．

本题主要考查等差数列前项和，考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

13.答案： 

解析：

本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，还考查了数列的求和，属于中档题．

由已知结合递推公式可求通项公式，然后结合数列项的正负取绝对值后，利用等差数列的求和公式可求．

因为，

当时，，

适合上式，

故，

因为，

所以，

，

，

．

所以答案为；．

14.答案： 

解析：如图所示，过点作垂直于右准线，垂足为，过点作垂直于右准线，垂足为， 

过点作，过作垂直于于，

因为，

令，，

则，

由椭圆的第二定义可得，，

所以，

由于直线的斜率为，

所以，

所以，

在中，，

所以离心率为，

所以答案为：．

设，，故，由椭圆的第二定义可得，，则，由于直线的斜率为，则，进而可得的值，再由，即可解得的值．

本题考查椭圆的第二定义，椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．

15.答案： 

解析：

本题以命题的真假判断为载体，考查了椭圆标准方程、圆的标准方程以及双曲线标准方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

利用椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线标准方程满足的条件，列出关于的关系，求解即可判断四个选项．

方程所表示的曲线为，

对于，若为椭圆，则

解得且，所以选项错误；

对于，若为双曲线，则，解得或，

所以实数的取值范围为，所以选项正确；

对于，当，即时，曲线为圆，所以选项错误；

对于，若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，

所以实数的取值范围为，所以选项正确．

所以答案为：．

16.答案：因为椭圆的方程，

所以，

所以，，，

所以，，，

所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦点坐标为， 

解析：将椭圆的方程化为标准方程，找到，，进而可得答案．

本题考查椭圆的性质，属于基础题．

17.答案：正项数列的前项和为，且，

令，可得，．

再令，可得，求得或舍去，

即．

证明：，，

当时，，

，

化简得．

，．

，

是以为首项，为公差的等差数列． 

解析：再中，分别令，，即可求得，的值．

由题意可得，由此得到，从而能求出的通项公式，从而得出结论．

本题主要考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．

18.答案：Ⅰ由题意可设抛物线的标准方程为或．

当时，可得，解得，此时抛物线的标准方程为：；

当时，可得，解得，此时抛物线的标准方程为：．

综上可得：抛物线的标准方程为：或；

Ⅱ当抛物线方程为时，如图，设为在准线上准线方程：的投影，可得，

依题意可得，

即的最小值为．

当抛物线方程为时，如图，当，，三点共线时，取得最小值，

最小值为．

解析：Ⅰ对称轴分为是轴和轴两种情况，分别设出标准方程为和，然后将点坐标代入即可求出抛物线标准方程；

Ⅱ根据不同的抛物线画图，根据图形求解的最小值．

本题考查抛物线的方程、几何性质，考查了数形结合数思想，属于中档题．

19.答案：，，椭圆经过点，

，

则，又，．

故椭圆方程为：；

由题意设：，：，

再设，，，

联立，得．

，得，

同理，得．

不妨设在轴上方，则，，

，，

．

又，，

． 

解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

由椭圆定义结合两点间的距离公式求得的值，进一步求解的值，则椭圆方程可求；

由题意设：，：，再设，，，分别联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求解，，把转化为含有，的代数式，结合在椭圆与直线上，即可求得的值．

20.答案：由题意可得：

，解得，

所以，

因为，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以．

当为奇数时，，

当为偶数时，，

对于任意正整数，有，

，

得：，

所以，

而 

，

因此，，

所以，数列的前项和为． 

解析：利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求的通项公式，利用等比数列的定义即可求的通项公式；

先求出，利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和，进而得到前项的和．

本题考查等差数列、错位相减法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．