2018-2019学年福建省泉州市九年级(上)期末数学试卷 解析版

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．

1．（4分）（2018秋•泉州期末）下列各数中，能使有意义的是　　

A．0 B．2 C．4 D．6

2．（4分）（2004•佛山）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　

A． B． C． D．

3．（4分）（2018秋•泉州期末）若，则的值为　　

A． B． C． D．

4．（4分）（2018秋•泉州期末）用配方法解方程，下列配方正确的是　　

A． B． C． D．

5．（4分）（2019•大渡口区模拟）下列事件为不可能事件的是　　

A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数    

B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃    

C．抛一枚普通的硬币，正面朝上    

D．从装满红球的袋子中摸出一个白球

6．（4分）（2019•河池一模）若三角形的各边长分别是、和，则以各边中点为顶点的三角形的周长为　　

A． B． C． D．

7．（4分）（2018秋•泉州期末）从一个由4个男生、3个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任小组长，则选出“男生”为小组长的概率是　　

A． B． C． D．

8．（4分）（2018秋•泉州期末）某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为　　

A． B． C． D．

9．（4分）（2018秋•泉州期末）如图，在中，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与四边形的面积比为　　

A． B． C． D．

10．（4分）（2018秋•泉州期末）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为　　

A． B． C．2019 D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．（4分）（2018秋•泉州期末）计算：　 　．

12．（4分）（2005•大连）方程的解是　 　．

13．（4分）（2014•兴庆区校级一模）如图，已知中，，，，则 　 　．

14．（4分）（2018秋•泉州期末）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线交于、、点、、，，，，则　　．

15．（4分）（2018秋•泉州期末）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点、、分别在边、、上，则正方形边长为　　．

16．（4分）（2018秋•泉州期末）若在内有一点，使得，，，则当　　时，与相似．

三、解答题：本题共9小题，共86分．

17．（8分）（2018秋•泉州期末）计算：．

18．（8分）（2018秋•泉州期末）小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，不同扇形分别填涂颜色，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，则“配橙色”游戏成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）

19．（8分）（2018秋•泉州期末）如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为、、．

（1）以为位似中心，将放大为△，使得△与的位似比为，请在网格图中画出△；

（2）直接写出（1）中点、、的坐标．

20．（8分）（2018秋•泉州期末）如图，一架遥控无人机在点处测得某高楼顶点的仰角为，同时测得其底部点的俯角为，点与点的距离为60米，求这栋楼高的长．

21．（8分）（2018秋•泉州期末）某钢铁厂第一个月生产钢铁100万吨，从第二个月起改进技术增大产量，第三个月生产钢铁132万吨，若钢铁产量第三个月增长率是第二个月增长率的2倍，求第二个月钢铁产量的增长率．

22．（10分）（2018秋•泉州期末）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）

23．（10分）（2018秋•泉州期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若，试求的值．

24．（13分）（2018秋•泉州期末）如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，点是轴上一动点，于点，点的坐标为．

（Ⅰ）求直线的解析式；

（Ⅱ）若，求点的坐标；

（Ⅲ）当在轴负半轴时，连接、，分别取、的中点、，连接交于点，当时，求证：．

25．（13分）（2018秋•泉州期末）如图，在正方形中，，点、分别是、边上的动点．

（1）填空：　　；

（2）若，且点关于的对称点落在边上，求的值；

（3）设，直线交直线于点，求与面积之和的最小值．（用含的代数式表示）

2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．

【考点】72：二次根式有意义的条件

【专题】514：二次根式

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：若有意义，则，

所以，

故选：．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

【考点】77：同类二次根式

【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即可．

【解答】解：、与被开方数相同，是同类二次根式；

、与被开方数不同，不是同类二次根式；

、与被开方数不同，不是同类二次根式；

、与被开方数不同，不是同类二次根式．

故选：．

【点评】要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．

【考点】：比例的性质

【专题】513：分式

【分析】根据比例的性质进行解答．

【解答】解：由，设，，

把，代入，

故选：．

【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．

【考点】：解一元二次方程配方法

【专题】523：一元二次方程及应用

【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

【考点】：随机事件

【专题】541：数据的收集与整理

【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：、掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数，是必然事件，错误；

、从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃，是随机事件，错误；

、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件，错误；

、从装满红球的袋子中摸出一个白球是不可能事件，正确；

故选：．

【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

【考点】：三角形中位线定理

【专题】552：三角形

【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：、分别为、的中点，

，

同理，，，

的周长，

故选：．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

【考点】：概率公式

【专题】65：数据分析观念；543：概率及其应用

【分析】由一个学习小组有4个男生、3个女生，现要从这7名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：一个学习小组有4个男生、3个女生，共7人，

选出“男生”为小组长的概率是，

故选：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题

【专题】：解直角三角形及其应用

【分析】坡度坡角的正切值，据此直接解答．

【解答】解：，

坡角．

故选：．

【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握，关键是坡度坡角的正切值解答．．

【考点】：相似三角形的判定与性质；：三角形的重心

【专题】552：三角形

【分析】连接并延长交于，根据重心的概念得到，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可．

【解答】解：连接并延长交于，

为的重心，

，

，

，

，

，相似比为，

与的面积之比为，

与四边形的面积比为，

故选：．

【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

【考点】：一元二次方程的解

【专题】523：一元二次方程及应用

【分析】利用一元二次方程根的定义得到，两边除以得到，从而可判断为方程一根．

【解答】解：把代入方程得，

所以，

所以为方程一根．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

【考点】75：二次根式的乘除法

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

【考点】：解一元二次方程因式分解法

【专题】11：计算题

【分析】有公因式可以提取，故用因式分解法解较简便．

【解答】解：原式为，，或，，．

方程的解是，．

【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．

【考点】：勾股定理；：锐角三角函数的定义

【专题】11：计算题

【分析】先根据勾股定理计算出，然后根据正弦的定义得到．

【解答】解：，，，

，

．

故答案为．

【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

【考点】：平行线分线段成比例

【专题】：图形的相似

【分析】已知直线，根据平行线分线段成比例定理，可得到一个含有与已知线段的比例式，从而可求得的长．

【解答】解：，

，

，，，

．

故答案为．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．

【考点】：数学常识；：相似三角形的应用；：正方形的性质

【专题】：图形的相似

【分析】设．由，可得，由此构建方程即可解决问题．

【解答】解：四边形是正方形，

，，设．

，

，

，

解得，

，

故答案为．

【点评】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

【考点】：相似三角形的判定

【专题】：图形的相似

【分析】分两种情形分别求解即可．

【解答】解：如图，，

当时，，

，

，

当时，

，

，

，

故答案为或．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

三、解答题：本题共9小题，共86分．

【考点】79：二次根式的混合运算；：特殊角的三角函数值

【专题】514：二次根式

【分析】根据二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算．

【解答】解：原式

．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【考点】：概率公式；：列表法与树状图法

【专题】543：概率及其应用

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：用表格来说明

所以游戏者获胜的概率为．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

【考点】：作图位似变换

【专题】558：平移、旋转与对称；24：网格型；13：作图题

【分析】（1）根据位似变换的定义和性质作出点，，的对应点，再首尾顺次连接即可得；

（2）由（1）可得点、、的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．

（2）点的坐标为、的坐标为、的坐标为．

【点评】此题主要考查了作图位似变换，根据位似变换的定义和性质得出对应点位置是解题关键．

【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题

【专题】554：等腰三角形与直角三角形

【分析】根据解直角三角形的知识进行解答即可．

【解答】解：由已知条件得：，

，

在中，，

（米，

答：这栋楼高的长为米．

【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．

【考点】：一元二次方程的应用

【专题】34：方程思想；523：一元二次方程及应用

【分析】设第二个月钢铁产量的增长率为，则第三个月的增长率为，根据该钢铁厂一月份及三月份的产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设第二个月钢铁产量的增长率为，则第三个月的增长率为，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，（舍去）．

答：第二个月钢铁产量的增长率为．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【考点】：相似三角形的性质

【专题】1：常规题型

【分析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可．

【解答】已知：△，相似比为，是的高，是△的高，

求证：，

证明：

△，

，

是的高，是△的高，

，

△，

．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．

【考点】：根的判别式；：根与系数的关系

【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用

【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△，由此可求的取值范围；

（2）由一元二次方程的解的定义得出，，将它代入，得出；那么△，即可求出的值．

【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，

△，解得，

当时，关于的一元二次方程有两个实数根；

（2）是关于的一元二次方程的根，

，即．

，

；

△，

解得．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：

①当△时，方程有两个不相等的实数根；

②当△时，方程有两个相等的实数根；

③当△时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

也考查了一元二次方程的解的定义．

【考点】：一次函数综合题

【专题】537：函数的综合应用

【分析】（Ⅰ）根据待定系数法得出解析式即可；

（Ⅱ）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可；

（Ⅲ）连接，，利用相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（Ⅰ）直线经过点，

，

直线的解析式为：；

（Ⅱ）在中，令，可得：，

，

由（Ⅰ）得：，，在中，由勾股定理得：，

，

，

①当点在轴的左侧时，如图1，

，，

，

，

，

，

，

解得：，

，

点的坐标为，

②当点在轴的右侧时，

同①可得：，

，

点的坐标为，

综上所述，点的坐标为或；

（Ⅲ）如图2，连接，，

在中，是斜边边上的中线，

，同理，，

，即是等腰三角形，

是的中线，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了一次函数的综合题，关键是根据相似三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点进行解答，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．

【考点】：四边形综合题

【专题】153：代数几何综合题；556：矩形 菱形 正方形；：图形的相似

【分析】（1）由正方形的性质可得对角线的长；

（2）由点与点关于对称知与△关于对称，再证，由，得，，，利用正切函数的定义即可得答案；

（3）过点作直线于点，交于点，则，证得，设，则，，继而知，整理得，根据方程有实数根得，结合知，最后根据时可得．

【解答】解：（1）四边形是正方形，且，

，，

，

故答案为：；

（2）如图1，

点与点关于对称，

与△关于对称，

，，

，

，

，

，，

，，

在中，由勾股定理得，

则；

（3）如图2，过点作直线于点，交于点，则，

，

，

，

设，则，

，解得，

，

整理得：，

此关于的方程有实数根，

△，即，

又，

，

，

当时，由方程可得，满足题意；

故当时，和面积之和的最小值为．

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形性质和轴对称的性质及相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识点．

考点卡片

1．数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．

平时要注意多观察，留意身边的小知识．

2．二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

3．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

4．同类二次根式

同类二次根式的定义：

　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

5．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

6．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

7．解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

8．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

9．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

10．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

11．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

12．一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．

（3）用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．

13．三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）

14．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

15．三角形中位线定理

（1）三角形中位线定理：

     三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点  

∴DE∥BC，DEBC．

16．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

17．四边形综合题

四边形综合题．

18．比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．

②合比性质．若，则．

③分比性质．若，则．

④合分比性质．若，则．

⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．

19．平行线分线段成比例

（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

20．相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

21．相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

22．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

23．相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

24．作图-位似变换

（1）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．

（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．

25．锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

即sinA＝∠A的对边除以斜边．

（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

即cosA＝∠A的邻边除以斜边．

（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．

即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边．

（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

26．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°； cos30°；tan30°；

sin45°；cos45°；tan45°＝1；

sin60°；cos60°； tan60°；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

27．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等．

28．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

29．随机事件

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．

（2）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；

②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．

30．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）．

（2）P（必然事件）＝1．

（3）P（不可能事件）＝0．

31．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．