2017北京高考数学理科试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项

中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合，或，则

（A）（B）

（C）（D）

（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A）（B）

（C）（D）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）

（B）

（C）

（D）（4）若满足则的最大值为

（A）（B）

（C）（D）

（5）已知函数，则

（A）是奇函数，且在上是增函数（B）是偶函数，且在上是增函数

（C）是奇函数，且在上是减函数（D）是偶函数，且在上是减函数

（6）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

）既不充分也不必要条件

（C）充分必要条件（D

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

的长度为

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：）（A）（B）（C）（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）若双曲线的离心率为，则实数．

（10）若等差数列和等比数列满足，则．

（11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的

最小值为．

（12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则= ．

（13）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件

数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件

数，．

①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则中最大的是；

②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的

是．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在中，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积．

（16）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者．

（Ⅰ）从服药的名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于的概率；（Ⅱ）从图中四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于的人数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）试判断这名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点

作

轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点．

（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：为线段的中点．

（19）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

（20）（本小题13分）

设和是两个等差数列，记

，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效）