2021-2022学年江苏省苏州中学高二(上)质检数学试卷(10月份)(解析版)

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.  

1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（　　）

A．第16项    B．第24项    C．第26项    D．第2

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则a1+a3的值为（　　）

A．8    B．9    C．10    D．11

3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣3    C．﹣4    D．﹣5

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（　　）

A．6    B．﹣2    C．﹣2或6    D．2或6

5．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（　　）

A．S7    B．S8    C．S13    D．S15

6．已知{an}是公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（　　）

A．S2020S2021＝S20192    B．S2020+S2021＝2S2019    

C．S2019S2021＝S20202    D．S2019+S2021＝2S2020

7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（　　）

A．13    B．16    C．31    D．

8．已知数列{an}满足a1＝1，且，则数列{bn}前10和为（　　）

A．174    B．672    C．1494    D．5904

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（　　）

A．l的倾斜角等于120°    

B．l与x轴的交点坐标为    

C．l与直线垂直    

D．l与直线平行

10．设数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（　　）

A．d＜0    B．a8＝0    

C．S6＜S5    D．S7，S8为Sn的最大值

11．在公比为q等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（　　）

A．q＝3    

B．数列是等差数列    

C．数列是等比数列    

D．数列是等比数列

12．已知数列{an}中的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有an+1≤Sn，则称{an}为“和谐数列”，下列结论正确的有（　　）

A．常数数列为“和谐数列”    

B．为“和谐数列”    

C．{2n+1}为“和谐数列”    

D．若公差为d的等差数列{an}满足{an+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为 　                　．

14．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为 　   　．

15．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有ap•aq＝ap+q，则数列的最大值为 　              　．

16．已知数列{an}满足a1＝4，nan+1＝2（n+1）an，则数列{an}的通项公式为 　       　，若数列的前n项和Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为 　       　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列{an}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．

（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；

（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．

19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．

（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）

（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？

（参考数据，精确到1万个）

20．已知数列{an}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{bn}满足a1b1+a2b2+⋯+anbn＝（n﹣1）2n+1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等差数列．

21．在数列{an}中，，．

（1）求证：等比数列；

（2）已知数列{bn}满足．

①若数列{bn}的前n项和Tn，可以表示成，求♠处的代数式；

②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

22．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk﹣S1，St﹣Sk成等比数列，求k和t的值．

参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.  

1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（　　）

A．第16项    B．第24项    C．第26项    D．第2

【分析】先求出数列的通项公式，an＝，由此能求出答案．

解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，

∴an＝＝，

∴＝2＝，

∴n＝26，

故2是这个数列的第26项，

故选：C．

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则a1+a3的值为（　　）

A．8    B．9    C．10    D．11

【分析】由an＝可求数列的通项，进而代入可求得a1+a3的值．

解：由题意结合公式an＝，

可得an＝，

所以a1＝4，a3＝7，即a1+a3＝4+7＝11，

故选：D．

3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣3    C．﹣4    D．﹣5

【分析】根据直线垂直的条件即可求出．

解：∵直线l的倾斜角为π，

∴直线l的斜率为k＝tan＝﹣，

∵直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，

∴×（﹣）＝﹣1，

∴m＝﹣5，

故选：D．

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（　　）

A．6    B．﹣2    C．﹣2或6    D．2或6

【分析】由已知结合等差数列的通项公式，可求出首项及公差，然后代入等差数列的求和公式，即可求出S4的值．

解：因为a1+a22＝1，a2+a4＝4，

所以，解得或，

当时，S4＝6，或时，S4＝﹣2，

所以S4＝6或﹣2．

故选：C．

5．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（　　）

A．S7    B．S8    C．S13    D．S15

【分析】利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a7的关系式，由已知式子为定值得到a7为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S13，也得到关于a7的关系式，进而得到S13为定值．

解：∵a2+a8+a11＝（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）＝3（a1+6d）＝3a7，

且a2+a8+a11是一个定值，

∴a7为定值，

又S13＝＝13a7，

∴S13为定值．

故选：C．

6．已知{an}是公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（　　）

A．S2020S2021＝S20192    B．S2020+S2021＝2S2019    

C．S2019S2021＝S20202    D．S2019+S2021＝2S2020

【分析】先由等比数列结合条件a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020求出q2+q＝2，两边同乘q2019，化简即可得到答案．

解：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），

因为a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，

即a2019q2﹣a2019＝a2019﹣a2019q，

可得q2﹣1＝1﹣q，

即q2+q＝2，两边同乘q2019，

得q2021+q2020＝2q2019，

则1﹣q2021+1﹣q2020＝2﹣2q2019，

∴，

即S2020+S2021＝2S2019，

故选：B．

7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（　　）

A．13    B．16    C．31    D．

【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．

解：由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16，a6＝2a5﹣1＝31．

故选：C．

8．已知数列{an}满足a1＝1，且，则数列{bn}前10和为（　　）

A．174    B．672    C．1494    D．5904

【分析】根据题意可知，利用累乘法求得{an}的通项公式，即可求得数列{bn}通项公式，利用并项求和求得b3k﹣2+b3k﹣1+b3k关系，即可求得数列{bn}前10和．

解：由，则，

由累乘法，所以，

因为，

所以，

所以，

所以数列{bn}前10和，

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（　　）

A．l的倾斜角等于120°    

B．l与x轴的交点坐标为    

C．l与直线垂直    

D．l与直线平行

【分析】对于A，先求出直线l的斜率，由此能求出l的倾斜角；对于B，求出直线l的斜率，再由l经过点（1，﹣2），求出直线l的方程，由此能求出l与x轴的交点坐标；对于C，∵直线l的斜率为k＝﹣，直线斜率为，从而l与直线不垂直；对于D，直线l的斜率为﹣，直线的斜率为﹣，从而l与直线平行．

解：直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），

对于A，直线l的斜率为k＝＝﹣，

∴l的倾斜角等于120°，故A正确；

对于B，直线l的斜率为k＝＝﹣，且l经过点（1，﹣2），

∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+2﹣＝0，

取y＝0，得l与x轴的交点坐标为（（1﹣，0），故B错误；

对于C，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线斜率为，

∴l与直线不垂直，故C错误；

对于D，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线的斜率为﹣，

∴l与直线平行，故D正确．

故选：AD．

10．设数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（　　）

A．d＜0    B．a8＝0    

C．S6＜S5    D．S7，S8为Sn的最大值

【分析】对于A，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣7d，由此得到d＜0；对于B，由a1＝﹣7d，得到a8＝a1+7d＝0；对于C，求出S6＝﹣27d，S5＝﹣25d，由此得到S6＞S5；对于D，由a1＞0，a1＝﹣7d，得到S7，S8为Sn的最大值．

解：数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，

对于A，＝，

整理得a1＝﹣7d，∴d＜0，故A正确；

对于B，∵a1＝﹣7d，∴a8＝a1+7d＝0，故B正确；

对于C，S6＝6a1+d＝6a1+15d＝﹣27d，

S5＝5a1+＝5a1+10d＝﹣25d，

∴S6＞S5，故C错误；

对于D，∵a1＞0，a1＝﹣7d，∴S7，S8为Sn的最大值，故D正确．

故选：ABD．

11．在公比为q等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（　　）

A．q＝3    

B．数列是等差数列    

C．数列是等比数列    

D．数列是等比数列

【分析】利用等比数列通项公式求出公式判断A；利用等比数列前n项和公式和等差数列定义判断B；利用等比数列通项公式及定义判断CD．

解：在公比为q等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，a5＝27a2，

∴1×q4＝27×1×q，解得q＝3，故A正确；

Sn＝＝，∴2Sn﹣3n＝﹣1，

∴数列是等差数列，故B正确；

an＝1×3n﹣1＝3n﹣1，∴an﹣3n＝3n﹣1﹣3n＝﹣，

∴数列是等比数列，故C正确；

＝（n﹣1）lg3﹣3n，∴数列不是等比数列，故D错误．

故选：ABC．

12．已知数列{an}中的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有an+1≤Sn，则称{an}为“和谐数列”，下列结论正确的有（　　）

A．常数数列为“和谐数列”    

B．为“和谐数列”    

C．{2n+1}为“和谐数列”    

D．若公差为d的等差数列{an}满足{an+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2

【分析】反例判断A；利用等比数列求和与通项公式的关系判断B；特例判断C；等差数列的形状判断D即可．

解：数列{an}中的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有an+1≤Sn，则称{an}为“和谐数列”，

如果数列{﹣1}，是常数列，但是不满足新定义，所以A不正确；

是等比数列，Sn＝＝，an+1＝＝•≤Sn＝1﹣，恒成立，所以数列是“和谐数列”，所以B正确；

{2n+1}为“和谐数列”，Sn＝n（n+2），an+1＝2n+3，当n＝1时，a2＝5＞S1＝3，不满足新定义，所以C不正确；

若公差为d的等差数列{an}，可知an＝a1+（n﹣1）d，令bn＝an+n，{bn}为“和谐数列”，b1＝a1+1，

bn+1＝a1+nd+n+1≤Sn＝b1+b2+•••+bn＝a1+a2+•••+an+1+2+3+•••+n＝na1++，恒成立，

a1+nd+n+1≤na1++，（n﹣1）a1+d+﹣1≥0，当n＝1时，d≤﹣1，当n≥2时，

不等式为恒成立，所以≥0，所以d≥﹣1，所以d＝﹣1，则（a1+1）n﹣a1﹣1≥0，可得a1≥﹣1，

所以a1+d的最小值为﹣2，所以D正确；

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为 　，答案不唯一　．

【分析】先求出直线的斜率k＝tan120°＝﹣，由此能求出该直线的一个方向向量．

解：在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为120°，

∴直线的斜率k＝tan120°＝﹣，

∴该直线的一个方向向量为，答案不唯一．

故答案为：，答案不唯一．

14．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为 　40　．

【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，则有S10﹣S5＝q5（a1+a2+a3+a4+a5），求出q5，又由a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5），计算可得答案．

解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

若S5＝5，即S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝5，

又由S10＝15，则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝q5（a1+a2+a3+a4+a5）＝10，

变形可得q5＝2，则a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5）＝23×5＝40，

故答案为：40．

15．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有ap•aq＝ap+q，则数列的最大值为 　　．

【分析】先令p＝1，n＝q，可知{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得到，再令，作差f（n+1）﹣f（n）可知当n＝2时取得最大值．

解：令p＝1，n＝q，则a1an＝an+1，即an+1＝2an，

∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，

令，则，

易知当n≥2时，f（n+1）＜f（n），

又，

∴的最大值为．

故答案为：．

16．已知数列{an}满足a1＝4，nan+1＝2（n+1）an，则数列{an}的通项公式为 　n⋅2n+1　，若数列的前n项和Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为 　6　．

【分析】根据题意，可得为等比数列，即可求得数列{an}的通项公式，即可求得数列，采用“裂项求和”求得Sn，解不等式即可求得n的取值范围．

解：由题意可知，，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

所以，，所以，

则，

所以，

由Sn≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，

所以n的最小值为6，

故答案为：n⋅2n+1；6．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列{an}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（1）设等差数列的通项公式为an＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，可得关于a1的方程，即可求得数列{an}的通项公式；

（2）把数列{an}的通项公式代入，即可求数列{bn}的前n项和Tn．

解：（1）设等差数列的通项公式为an＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，

得，解得a1＝1，

∴an＝n；

（2）由题意，＝n+3n﹣1，

∴．

18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．

（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；

（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．

【分析】（1）先求出AB的斜率，从而得以与直线AB平行的直线的斜率，由此能求出所求直线的方程；

（2）求出直线AD的斜率为，由此能求出直线AD倾斜角的取值范围．

解：（1）由已知可得AB的斜率为，

所以与直线AB平行的直线的斜率也为﹣7，

从而所求直线的方程为y﹣4＝﹣7（x+7），即y＝﹣7x﹣45；

（2）由题意得直线AD的斜率为，

所以直线AD倾斜角的取值范围为．

19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．

（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）

（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？

（参考数据，精确到1万个）

【分析】（1）由条件可得每月投入的鱼苗数量构成等差数列，再利用等差数列求和公式即可得解；

（2）由条件可得每年投入的鱼苗数量构成等比数列，借助等比数列前n项和求出公比即可．

解：（1）依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为万尾．

故2021年年底共有鱼13+49.2＝62.2万尾；

（2）依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q，且q＞1则60+60q+60q2≥800﹣13，即，解得，

所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．

20．已知数列{an}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{bn}满足a1b1+a2b2+⋯+anbn＝（n﹣1）2n+1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等差数列．

【分析】（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，由a1﹣1，a2，a3成等差数列，列方程求出q＝2，由此能求出数列{an}的通项公式；

（2）由，得，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，，作差，得bn＝n，从而bn+1﹣bn＝1，由此能证明数列{bn}是等差数列．

解：（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，

由于a1﹣1，a2，a3成等差数列，则，解得q＝2，

从而数列{an}的通项公式为；

（2）证明：因为，

即，

当n＝1时，b1＝1，

当n≥2时，，

作差，得，所以bn＝n；

因此bn+1﹣bn＝1，所以数列{bn}是等差数列．

21．在数列{an}中，，．

（1）求证：等比数列；

（2）已知数列{bn}满足．

①若数列{bn}的前n项和Tn，可以表示成，求♠处的代数式；

②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

【分析】（1）由，结合即可证明数列是以3为首项，3为公比的等比数列；

（2）①由（1）可知+1＝3n，则，所以，从而利用错位相减求和法即可确定♠处的代数式；

②由①可知Tn+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，考虑{2﹣}是递增数列，从而分类讨论n为偶数和n为奇数两种情况即可确定λ的取值范围．

解：（1）证明：由，

又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；

（2）由（1）可知+1＝3n，则，所以，

①Tn＝+++…+，则Tn＝+++…++，

两式相减得Tn＝++…+﹣＝﹣＝1﹣，

则Tn＝2﹣，又，所以♠的代数式为n+2；

②由①可知Tn+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，

显然{2﹣}是递增数列，当n为偶数时，λ＜2﹣＝，当n为奇数时，﹣λ＜2﹣1＝1，即λ＞﹣1，

所以实数λ的取值范围为．

22．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk﹣S1，St﹣Sk成等比数列，求k和t的值．

【分析】（I）由3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1．

（II）由3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．n≥2时，+2Sn﹣1，相减可得：＝Sn2﹣+2an，

3an＝Sn+Sn﹣1+2．可得3an+1＝Sn+1+Sn+2，相减化为：an+1＝2an．利用等比数列的通项公式即可得出．

（III）由（II）可得：Sn＝2n﹣1．由S1，Sk﹣S1，St﹣Sk成等比数列，可得，2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．，对k分类讨论即可得出．

解：（I）由3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1＝1．

（II）由3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．n≥2时，+2Sn﹣1，相减可得：＝Sn2﹣+2an，

∴3an＝Sn+Sn﹣1+2．∴3an+1＝Sn+1+Sn+2，可得：3an+1﹣3an＝an+1+an，化为：an+1＝2an．

n＝1时，，可得+2（1+a2），a2＞0，解得a2＝2，满足上式．

∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2．

∴an＝2n﹣1．

（III）由（II）可得：Sn＝＝2n﹣1．

由S1，Sk﹣S1，St﹣Sk成等比数列，∴，可得（2k﹣2）2＝2t﹣2k．

化为：2t＝（2k）2﹣3•2k+4，可得：2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．（*）

k＝1时不满足题意，∴k≥2．

k＝2时，2t＝8，解得t＝3．

k≥3时，t＝2时，化为2k＝3，不成立舍去．

t≥3时，（*）左边为偶数，右边为奇数，不成立．

综上可得：t＝3，k＝2．