方程的根与函数的零点(导学案)

学习目标

1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；

2.掌握函数零点存在性判定定理；

3.能结合图象求解零点问题．

预习清单

1.零点：对于函数y=f(x)，我们把使              的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

说明：零点不是一个点，零点指的是一个             .

2.函数零点的等价说法:

函数y＝f(x)有零点                                                                                  

3.零点存在性定理:

若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条           的曲线，且满足               ，那么函数在区间(a,b)上有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.

课堂探究

探究点1  方程的根与函数图象的关系

问题1：下列二次函数的图象与x轴交点与相应方程的根有何关系？

(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0       (2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0           (3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0

二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系？

结论: 

二次方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.

推广：

函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？

结论:

函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根.

探究点2  零点的概念

零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

问题1: 函数的零点是一个点吗？

问题2: 试归纳函数零点的等价说法？

探究点3  零点存在性定理

现在有两组镜头（如图），哪一组能说明她的行程一定渡河 ？

若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点。请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径。

观察下面函数y=f(x)的图象，回答问题

(1) 在区间(a,b)上, f(a)·f(b) _______0(＜或＞)，_______(有/无)零点；

(2) 在区间(b,c)上,f(b)· f(c) _______0(＜或＞)， _______ (有/无)零点．

(3) 在区间(c,d)上, f(c )·f(d)_______0(＜或＞)， _______ (有/无)零点；

猜想:若函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续的, 如果有                 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点.

零点存在性定理:

若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条           的曲线，且满足               ，那么函数在区间(a,b)上有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.

思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？

思考2:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？ 

思考3:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内f(a)·f(b)>0，那么一定能得函数没有零点的结论吗？ 

思考4:满足什么条件，函数y=f(x)在(a,b)内只有一个零点？

典例精讲

题型一：求函数的零点

【例1】函数f(x)=x(x－4)的零点为(      )

   A．(0，0)，(2，0)          B．0     C．(4，0)，(0，0)           D．4，0

题型二：零点个数问题

【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.

规律总结

判断函数零点个数的主要方法：

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．

(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．

(4)转化成两个函数图象的交点问题．

课堂练习

1.函数的零点是(　　)

A.（1,0）  B.0    C.1   D.0和1

2.已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是(　　)

   A．f(0)＝0

   B．方程f(x)＝0有实根

   C．函数f(x)的图象与x轴有交点

   D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根

3.函数的零点所在的大致区间是(　　)

A.(1,2)   B.(2,3)    C.(3,4)    D.(e,3)

归纳小结

1．正确理解函数的零点：

(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

3．判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：

(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．

(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点、转化成两个函数图象的交点问题．

(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．

课后练习

1.函数f(x)＝lg x＋1的零点是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．10

2.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)

A．1  B．－1  C．0  D．不能确定

3.函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

4.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0   B．－2，0     C.       D．0

5.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1，2)    B．(2，3)   C.和(3，4)      D．(e，＋∞)

6.若f(x)＝x＋b的零点在区间(0，1)内，则b的取值范围为________．

7.若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

8.已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

※9.已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(a≠0),求a为何值时方程：

(1)有一正根－负根；   (2)两根都大于1；    (3)一根大小1，一根小于1.