解决几何体的外接球与内切球

一、外接球的问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．

（一）  由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

（三）   由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。