2015年安徽高考理科数学试卷及答案

数学(理科)

参考公式:

如果事件A与B互斥,那么;

标准差:,其中.

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于（   ）

（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【答案】B

2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（   ）

（A）  （B）（C）（D）

【答案】A.

3.设, ,则p是q成立的（   ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A.

4.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（   ）

（A）      （B）       （C）      （D）

【答案】C

5.已知,是两条不同直线, ,是两个不同平面,则下列命题正确的是（   ）

（A）若,垂直于同一平面,则与平行

（B）若,平行于同一平面,则与平行

（C）若,不平行,则在内不存在与平行的直线

（D）若,不平行,则与不可能垂直于同一平面

【答案】D

6.若样本数据，，，的标准差为,则数据, , ,的标准差为（   ）

（A）     （B）     （C）      （D）

【答案】C

7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（   ）

（A）    （B）    （C）    （D）

【答案】B.

8.是边长为的等边三角形,已知向量,满足, ,则下列结论正确的是（   ）

（A）      （B）      （C）      （D）

【答案】D.

9.函数的图象如图所示,则下列结论成立的是（   ）

（A）, ,                 （B）, ,

（C）, ,                 （D）, ,

【答案】C

10.已知函数(, ,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是（   ）

（A）    （B）

（C）     （D）

【答案】A

二、填空题:本大题共5小题.每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置

11.的展开式中的系数是       （用数字填写答案）

【答案】35

12.在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是     

【答案】6

13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为       

【答案】4 

14.已知数列是递增的等比数列, ,则数列的前项和等于     

【答案】.

15. 设,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是        （写出所有正确条件的编号）

;;;;.

【答案】(1)(3)(4)(5)

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内

16. (本小题满分12分)在中, ,点D在边上, ,求的长.

解:在中, ,即;

从而,;

又,所以,所以.

17.(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和均值.

解:(1);

(2)的可能取值为200,300,400表示前2次取出的是次品;

表示前2次取出的是1件次品和1件正品,第三次取出的是次品;或前3次取出的都是正品;

表示前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件次品;前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件正品.

,;.

.

18.(本小题满分12分)设,是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标.

(1)求数列的通项公式;

(2)记,证明: .

解:(1),当时, ,所以曲线在点处的切线为;因此曲线在点处的切线与轴交点的横坐标;

(2)由(1)知,令,则;

因为所以在

单调递增的,因此,所以,即.

19.(本小题满分13分)如图所示,在多面体中,四边形,

均为正方形,为的中点,过,的平面交于.

(1)证明:; 

(2)求二面角的余弦值.

(1)证明:因为,均为正方形,所以,因此四边形是,所以;而, ,所以,又因为过平面交于,所以.

(2) 取中点,取中点,连, ,则,由四边形,均为正方形知, ,因此,设交于.连,则,所以为二面角的平面角.

由(1)知,又为的中点,所以为的中点.

设四边形,的边长为2,在中,

.

在中,.

所以二面角的余弦值为.

20.(本小题满分13分)设椭圆E的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为.

(1)求E的离心率;

(2)设点坐标为,为线段中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求E的方程.

解:(1)由点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,知,即点分线段的比为2,所以点;又直线的斜率为,所以,即,由得,.

(2)因为为线段中点,所以即,而直线的方程为,即;

而点关于直线的对称点纵坐标为;又点关于直线的对称点的纵坐标为,所以,因此, ,所以为所求.

21. (本小题满分13分)设函数.

(1)讨论函数在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;

(2)记,求函数在上的最大值D;

(3)在(2)中.取,求满足条件时的最大值.

解: (1)令,开口向上,对称轴为;

1)当,即时,在内是单调递增的;

2)当,即时,函数在处取得极小值,;

3)当,即时,在内是单调递减的;

另:, ,因为,所以,由得.

1)当,即时,函数在处取得极小值,;

2)当时,在内是单调递增的;

3)当时,在内是单调递减的;

(2) 令,

,

所以在上的最大值

因为

所以当或时,;当或时.

(3)在(2)中,时,;由;所以当或时,;当或时.

因此,当或时, 由;当或时.

如图,当与直线或相切时,最大,

把代入得,所以得,因此满足条件时的最大值为.