2018年高中自主招生数学试题(最后定稿)

      数学试卷                 姓  名                   

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．下表是某校合唱团成员的年龄分布

A．平均数、中位数    B．众数、中位数  C．平均数、方差    D．中位数、方差

3.对于正数和，定义，那么（    ）

A.符合交换律，但不符合结合律       B.符合结合律，但不符合交换律

C.既不符合交换律，也不符合结合律   D.符合交换律和结合律

4.速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x个字，根据题意列方程，正确的是（    ）

A．=     B．= C．=     D．=

5.已知实数满足，并且，，现有，则的取值范围为（     ）

A.           B.    

C.         D. 

6．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣，y=的图象交于

B、A两点，则tan∠OAB的值的变化趋势为：（    ）

A．逐渐变小     B．逐渐变大     C．时大时小     D．保持不变

7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（     ）

       A．4            B．5         C．6            D． 7

8.如图，矩形ABOC的顶点坐标为（－4，5），D是OB的中点，E为OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（     ）

A．     B．     C．(0，2)     D． 

第8题图                    第9题图                  第10题图

9.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折180°得到△AED，连CE，则线段CE的长等于 (     )

A．2         B．       C.         D． 

10.已知函数的图像如图所示，点是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB.下列结论：①若点在图象上，且，则；②当点坐标为（0，-3）时，是等腰三角形；③无论点在什么位置，始终有；④当点移动到使时，点的坐标为（，-）.其中正确的结论个数为（     ）

A．1         B．2       C. 3        D．4

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．若函数y=与y=x﹣2图象的一个交点坐标（a，b），则﹣的值为      ．

12.规定时，代数式的值记为.例如：时，，则的值等于       .

13.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中结论正确的序号是         ．（把所有正确结论的序号都选上）

第13题图                                第14题图

14.长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，则a的值为           ．

三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．计算：6cos45°+（）-1+（﹣1.73）0 +|5﹣3|+42017 ×（﹣0.25）2018

16. 先化简，再求值：（a﹣）÷（），其中a满足a2﹣3a+2=0．

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），网格中小正方形的边长为1．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A2B2C2，并求点B两次运动路径总长．

18．如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…

（1）观察图形并完成表格：

（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1，1），则x1=        ；第2018个基本图形的中心O2018的坐标为        ．

图1

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）           

19.【回顾】如图1，△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积等于        ．

【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b．小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝；小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH，如图4，也推出sin75°＝．

图2                            图3                            图4

请你写出小明或小丽推出sin75°＝的具体说理过程．

20．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE； （3分）

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；（3分）

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？（4分）

请证明你的结论．

六、（本题满分12分）

21．[探究函数的图象与性质]

（1）函数的自变量的取值范围是            ；（2分）

（2）下列四个函数图象中函数的图象大致是（      ）；（2分）

（3）对于函数，求当x＞0时，的取值范围. （4分）

请将下列的求解过程补充完整.

解：∵x＞0

∴

∵

∴               .

⑷若函数，则的取值范围             . （4分）

七、（本题满分12分）

22．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3分）

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（5分）

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（4分）

八、（本题满分14分）               

23．我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．

（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；（4分）

（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．

①若MN⊥AI，求证：MI2=BM•CN；（6分）

②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，则+的值为           ．（4分）

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