江苏省盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学试题

数学试题

 (总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1. 若集合，集合，则    ▲    .

2．命题“若, 则”的否命题为    ▲    .

3．函数的最小正周期为    ▲    ．

4．若幂函数的图象过点，则=    ▲    ．

5．若等比数列满足，，则    ▲    .

6．若均为单位向量，且，则的夹角大小为    ▲    .

7．若函数是奇函数，则    ▲    .

8．已知点是函数图象上一点，则曲线在点处的切线斜率的最小值为    ▲    .

9．在等差数列中，是其前项和，若，则=    ▲    .

10．在中，分别为角的对边，若，

，，则=    ▲    .

11．如图，在等腰中，，为中点，点、分别在边、上，且，，若，则=     ▲    . 

12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是    ▲    . 

13. 设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为    ▲    .

14．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是    ▲    .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15. (本小题满分14分)

已知函数满足，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.

（1）求与的值；

（2）若，，求的值.

17. (本小题满分14分)

设△的面积为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且角不是最小角，求的取值范围．

18. (本小题满分16分)

如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量， 2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.

（1）将表示为的函数；

（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？

19. (本小题满分16分)

设数列的前项和为，且. 

（1）若是等差数列，求的通项公式；

（2）若.

     ① 当时，试求；

② 若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值.

20. (本小题满分16分)

已知函数，，.

（1）若曲线与直线相切，求实数的值；

（2）记，求在上的最大值；

（3）当时，试比较与的大小.

盐城市2015届高三年级第一学期期中考试

数学参

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.   2. 若, 则    3.     4.     5. 27      6.      7. 2 

8.     9. 12      10.      11.        12.     13. 13       14. 

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）， ，解得，                ……………2分  ，                               ……………4分

图象的相邻两条对称轴间的距离为，

， .                                                 ……………6分

（2）， ，                                      ……………8分

， ， ，即，       ……………10分

，又，

.                       …………14分

16．解：（1）由，解得，所以，                   …………2分

又函数在区间上单调递减，所以，即， …………4分

当时，，所以.                                  …………6分

（2）首先要求，                                                      …………8分

而“”是“”的必要不充分条件，所以，即， …………10分

从而，                                                            …………12分

解得.                                                             …………14分

17．解：（1）设中角所对的边分别为，由，

得，即，                         …………2分

所以，                                                           …………4分

又，所以.                                                    …………6分

（2）因为，所以， 由正弦定理，得，

所以，                                                   …………8分

从而                           …………10分

，  …………12分

又，所以.                              …………14分

（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）

18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，

建立平面直角坐标系.                          …………2分

设曲线段所在抛物线的方程为，

将点代入，得，

即曲线段的方程为.       …………4分

又由点得线段的方程

为.                       …………6分

而，

所以            …………8分

（2）①当时，因为，

所以，由，得，                          …………10分

当时，，所以递增；

当时，，所以递减，所以当时，；          …………12分

②当时，因为，

所以当时，；                                                …………14分

综上，因为，所以当米时，平方米.                     …………16分

（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）

19．解：（1）由等差数列求和公式，

                                                 ……………2分

，

，解得， ；                  ……………4分

（说明：也可以设；或令，先求出首项与公差）

（2）由，

 得，                                       ……………6分

，                         

.                                    ………………8分

（说明：用，利用分组方法求和，类似给分.）

（3）设，由，得与，

， ，

， ，                                ……………10分

又， ，

， 相减得，

，数列为递增数列，

，解得，                                ……………12分

由，

，

，                                               ……………14分

，解得.                                     ……………16分

20．解：（1）设曲线与相切于点，由，知，

解得，                                                             ……………2分

又可求得点为，所以代入，得.                    ……………4分

（2）因为，所以.

当，即时，，此时在上单调递增，

所以；                                         ……………6分

当即时，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，，.

()当，即时，；

() 当，即时，；        ……………8分

当，即时，，此时在上单调递减，所以.

综上，当时，；当时，.   ……………10分

(3)当时，，，

当时，显然；

当时，，，

记函数，                                   ……………12分

则，可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（），

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，                                          ……………14分

结合（）式，知， 

所以，则，

即，所以.

综上，.                                                     ……………16分

（说明：若学生找出两个函数与图象的一条分隔线，如，然后去证与，且取等号的条件不一致，同样给分）