2017年广东省佛山市高考数学模拟试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（∁RN）=（　　）

A．{﹣1，2，2}    B．{1，2}    C．{4}    D．{x|﹣1≤x≤2}

2．（5分）复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．（5分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）

A．2    B．4    C．5    D．6

5．（5分）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（　　）

A．此题没有考生得12分

B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏

C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分

D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．6    B．    C．7    D．

7．（5分）如图所示的程序框图，输出的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（5分）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（　　）

A．2    B．    C．3    D．5

9．（5分）下列函数中，同时满足两个条件“①∀x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（　　）

A．f（x）=sin（2x+）    B．f（x）=cos（2x+）    C．f（x）=sin（2x﹣）    D．f（x）=cos（2x﹣）

10．（5分）二项式（x+）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

11．（5分）任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（　　）

A．相交    B．相切    C．相离    D．以上均有可能

12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．

正确结论的个数为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．（5分）函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=　　．

14．（5分）已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．

15．（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为　　．

16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•=0，则双曲线离心率的取值范围是　　．

三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C

（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计执行此计划的年度预算．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；

（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

21．（12分）设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数

（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；

（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）

22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy

（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）

23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）

（Ⅰ）求x0的值；

（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．

2017年广东省佛山市高考数学模拟试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1．（5分）（2017•佛山一模）已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（∁RN）=（　　）

A．{﹣1，2，2}    B．{1，2}    C．{4}    D．{x|﹣1≤x≤2}

【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义进行计算即可．

【解答】解：全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，

N={x|x2﹣2x≥3}={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，

∴∁RN={x|﹣1＜x＜3}，

∴M∩（∁RN）={1，2}．

故选：B．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

2．（5分）（2017•佛山一模）复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】由z（2+i）=3﹣i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．

【解答】解：由z（2+i）=3﹣i，

得=，

则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．

故选：D．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．（5分）（2017•佛山一模）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】根据等比数列的前n项和为Sn．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，

q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；

反之也成立，

故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，

故选：C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．

4．（5分）（2017•佛山一模）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）

A．2    B．4    C．5    D．6

【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．

【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．

则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，

作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小

由可得B（2，0），此时z=2

故选：A．

【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

5．（5分）（2017•江西模拟）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（　　）

A．此题没有考生得12分

B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏

C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分

D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差

【分析】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，即可得出结论．

【解答】解：由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，

第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，

故选B．

【点评】本题考查难度曲线图，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

6．（5分）（2017•佛山一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．6    B．    C．7    D．

【分析】由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，即可求出该几何体的体积．

【解答】解：由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，

该几何体的体积为=，

故选D．

【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图，确定几何体的形状是关键．

7．（5分）（2017•佛山一模）如图所示的程序框图，输出的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，

当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，

当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，

当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，

当i=5时，不满足进行循环的条件，

故输出的S值为，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

8．（5分）（2017•佛山一模）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（　　）

A．2    B．    C．3    D．5

【分析】=λ⇒=，由E，F，K三点共线可得，即可．

【解答】解：∵=2，=3，

∴=λ∴=，

由E，F，K三点共线可得，∴λ=5

故选：D．

【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用，向量共线定理的应用，其中解题的关键由EFK三点共线得系数之和为1，属于基础题．

9．（5分）（2017•佛山一模）下列函数中，同时满足两个条件“①∀x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（　　）

A．f（x）=sin（2x+）    B．f（x）=cos（2x+）    C．f（x）=sin（2x﹣）    D．f（x）=cos（2x﹣）

【分析】①∀x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称中心为（，0）；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，结合选项，可得结论．

【解答】解：①∀x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称中心为（，0）；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，

结合选项，可得C满足，

故选C．

【点评】本题考查三角函数的对称性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

10．（5分）（2017•佛山一模）二项式（x+）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

【分析】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，代入验证，即可得出结论．

【解答】解：由题意，展开式中项的系数为，

系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，

n=6，r=0，6不符合；n=7，r=3；n=8，r=0，6不符合；n=9，r=3，9，不符合题意，

故选B．

【点评】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于中档题．

11．（5分）（2017•佛山一模）任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（　　）

A．相交    B．相切    C．相离    D．以上均有可能

【分析】求出曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，即可得出结论．

【解答】解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），

∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），

x=0时，y′=1﹣a，

∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，

恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，

∴切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是相交．

故选：A．

【点评】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

12．（5分）（2017•佛山一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．

正确结论的个数为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．

【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，

但f（0），f（1）的符号不能确定，

故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；

由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，

即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，

故g（0）≤0，且g（1）≤0，

故②g（0）•g（1）≥0一定正确；

由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，

令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），

当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值

故③正确；

故选：B

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．（5分）（2017•佛山一模）函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=　1　．

【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2，即可求出a的值．

【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2

∴a=±1，

a=﹣1，函数定义域不关于原点对称，舍去．

故答案为1．

【点评】本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．（5分）（2017•佛山一模）已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．

【分析】利用两角差的正切公式求出tanx的值，又根据已知条件列出方程组，求解即可得到sinx，cosx的值，代入sinx+cosx计算得答案．

【解答】解：∵tan（x﹣）=﹣，

∴=，则tanx=

又0＜x＜，

∴，解得sinx=，cosx=，

则sinx+cosx=．

故答案为：．

【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，是基础题．

15．（5分）（2017•佛山一模）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为　26+27+…+212　．

【分析】依据定义，结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论．

【解答】解：由题意，2n﹣1是质数，2n﹣1（2n﹣1）是完全数，

∴令n=7，可得一个四位完全数为×（127﹣1）=8128，

∴8128=26+27+…+212，

故答案为：26+27+…+212．

【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．

16．（5分）（2017•佛山一模）已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•=0，则双曲线离心率的取值范围是　＞e≥　．

【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，即可得到离心率的范围．

【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，），B（c，﹣），由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，可得e=；

焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x﹣c），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则联立直线方程和双曲线的方程，可得

（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0，

则△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

则y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2•，

由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，

即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0，

即有k2=，

∴＞，

∵b＞a，∴＞e＞，

故答案为＞e≥．

【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题和易错题．

三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）（2017•商丘三模）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C

（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；

（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，

又b=4c，所以cosC===，

所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；

（Ⅱ）因为c=5，b=4c，所以b=，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB

则80=a2+25﹣2× a，

化简得，a2﹣6a﹣55=0，

解得a=11或a=﹣5（舍去），

由BD=6得，CD=5，

由cosC=得sinC==，

所以△ADC的面积S=

==10．

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式变形等，以及三角形的面积公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力．

18．（12分）（2017•佛山一模）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计执行此计划的年度预算．

【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．

（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．

（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计执行此计划的年度预算．

【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：

80岁及以上应抽取：8×=3人，

80岁以上应抽取：8×=5人．

（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

，

用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，

用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．

（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，

P（X=0）=，

P（X=120）==，

P（X=200）==，

P（X=220）==，

P（X=300）==，

则随机变量X的分布列为：

全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．

执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．

【点评】本题考查分表图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及应用，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．

19．（12分）（2017•佛山一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；

（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．

（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，

∵E是PB中点，∴EFAB，∴CDEF，

∴四边形CDEF为平行四边形，

∴DF∥CE，

又△PAD 为正三角形，

∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，

又PA⊥CD，CD∩CE=C，

∴PA⊥平面CDE，

又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．

解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，

∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，

∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，

以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，

设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），

∴=（2，），=（0，2，0），

设平面ADE的法向量=（x，y，z），

则，取z=﹣4，得=（），

由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，

∴cos＜＞===﹣，

∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

20．（12分）（2017•佛山一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

【分析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，

∴，又a2=b2+c2，

解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，

①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），

则，

∴S=|2x0|•|y0|=|x0|•|y0|=2≤=2，

当且仅当=2﹣，即|y0|=1时，取等号，

此时直线l的方程为y=±1．

②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，

由△=（8km）2﹣4（1+4k2）•4（m2﹣2）＞0，

解得8k2+2＞m2，（*）

，，

∴PQ中点为（﹣，），

∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，

结合（*）得0＜m＜6，

又O到直线l的距离d=，

|PQ|=|x1﹣x2|=，

∴S=|PQ|•d=•==，

∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．

综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．

【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．

21．（12分）（2017•佛山一模）设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数

（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；

（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；

（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（﹣，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aeax+=，（x＞0），

令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，

求导得：g′（x）=aeax（1+ax），

令g′（x）=0，解得：x=﹣，

x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，

x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，

∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，

∴g（﹣）g（0）＜0，

∴函数f（x）有两个极值点；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

不妨令x2∈（﹣，+∞），

故ax2+λ=0，

故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），

令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），

h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0，

∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，

∴函数f（x）有唯一零点．

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）

22．（10分）（2017•佛山一模）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy

（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．

【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；

椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；

（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），

∵E（0，﹣1），

∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），

∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，

∴•的取值范围是[5﹣，5+]．

【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）

23．（2017•海南模拟）已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）

（Ⅰ）求x0的值；

（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．

【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；

（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．

【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，

解得x＞2，∴x0=2；

（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，

∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，

∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，

∴m+≤2，

∵m+≥2，

∴m+=2，∴m=1．

【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．