数列通项公式习题精选精讲

几种常见的数列的通项公式的求法

一．观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： 

    （2）  （3）     （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 

二、公式法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1

例1.  等差数列是递减数列，且=48， =12，则数列的通项公式是（    ）

(A)  (B) (C)  (D) 

解析：设等差数列的公差位d，由已知，

解得，又是递减数列，   ∴，，∴ ，故选(D)。

例2.  已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。

解析：由题意，，又是等比数列，公比为

∴，故数列是等比数列，，∴ 

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、      叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解   易知∵……

各式相加得∴

点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4.  若在数列中，，，求通项。

解析：由得，所以，，…，，

将以上各式相加得：，又所以 =

四、叠乘法

例4：在数列｛｝中， =1,   (n+1)·=n·，求的表达式。

解：由(n+1)·=n·得， =··…=     所以

例4. 已知数列中，，前项和与的关系是  ，试求通项公式。

解析：首先由易求的递推公式： 

将上面n—1个等式相乘得：

点评：一般地，对于型如= (n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。

五、Sn法利用   (≥2)

例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）

解： （1）===3

此时，。∴=3为所求数列的通项公式。

（2），当时 

 由于不适合于此等式 。   ∴

点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

六、待定系数法：

 例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设 

例6. 已知数列中，，，

其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。

解析：递推公式一定可表示为

的形式。由待定系数法知： 

  故数列是首项为，公比为的等比数列，故

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。

七、辅助数列法

例7：已知数的递推关系为，且求通项。

解：∵     ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列

∴即  ∴

例5.在数列中，，，，求。

解析：在两边减去，得

∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得

= =…=== 

例8： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。

解：∵∴，  设，则

故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴         ∴

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如型

（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.

（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

方法如下： 由得：

时，，

，

所以各式相加得 

即：.

为了书写方便，也可用横式来写：

时，，

=.

例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足,

    证明

证明：由已知得： 

   =    .

例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.                                 答案： 

例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.                                       答案：  

评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.

解:由已知得,

化简有,由类型(1)有,

又得,所以,又, ,

则

此题也可以用数学归纳法来求解.

2.形如型

（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列， =.

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.

  由得     时，，

=f(n)f(n-1). 

例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.

解：已知等式可化为： 

 () (n+1),   即

时， 

==.

评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

例2.已知,求数列{an}的通项公式.

解：因为所以

故又因为,即，

所以由上式可知,所以,故由累乘法得  

=

所以-1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为

若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

3.形如型

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.

例1. 数列{}满足, ,求数列{an}的通项公式.

分析 1：构造 转化为型

解法1：令

则.

时, 

各式相加: 

当n为偶数时，.

此时

当n为奇数时， 

此时,所以.

故 

解法2： 

时，，

两式相减得：.

构成以,为首项，以2为公差的等差数列;

构成以,为首项，以2为公差的等差数列

.

评注：结果要还原成n的表达式.

例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足

Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.

解：方法一：因为

    以下同例1，略

    答案  

4.形如型

（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例1. 已知数列,求此数列的通项公式.

注：同上例类似，略.

5．形如,其中)型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下：设,

得,与题设比较系数得

,所以

所以有： 

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以 

即：.

规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式

有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例1．已知数列中，求通项.

分析：两边直接加上,构造新的等比数列。

解：由得,

所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列

所以,即  . 

方法二：由 

时， 

两式相减得 

,

数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.

=(   .

方法三：迭代法

由 递推式

直接迭代得

==

=.

方法四：归纳、猜想、证明.

先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.

注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.

6.形如型

.(1)若(其中k,b是常数，且)

方法：相减法

例1.在数列中，求通项.

解：，              

时，，

两式相减得 

.令,则

利用类型5的方法知

即              

再由累加法可得.

亦可联立    解出.

例2. 在数列中，,求通项.

解：原递推式可化为

比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.

    即： 

故.

(2)若(其中q是常数，且n0,1)

若p=1时，即：，累加即可.

若时，即：，

求通项方法有以下三种方向：. 两边同除以.

即：  ,令，则,

然后类型1，累加求通项.

.两边同除以.  即：  ,

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

.待定系数法：

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

例1.（2003天津理）

设为常数，且．

证明对任意≥1，；

证法1：两边同除以（-2）,得

令,则

=

=

=

.

证法2：由得   .

设，则b.  即：,

所以是以为首项，为公比的等比数列.

则=,

即：,

故.

评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.

证法3：用待定系数法

设,  即:,

比较系数得：,所以    所以,

所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.  

  即.

方法4：本题也可用数学归纳法证.

（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；

  ()假设当n=k（k≥1）等式成立，则

    那么

    也就是说，当n=k+1时，等式也成立.  根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 

规律：  类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.

7.形如型

（1）即           取倒数法.

例1. 已知数列中，，，求通项公式。 

解：取倒数： 

例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.

证：∵当

即  于是有  

所有不等式两边相加可得  

由已知不等式知，当n≥3时有， 

∵

评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.

2.形如型

方法：不动点法:

我们设,由方程求得二根x,y,由有

同理,两式相除有,从而得,再解出即可.

例1. 设数列｛an｝满足,求｛an｝的通项公式.

分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.

解：对等式两端同时加参数t,得：

,

令,  解之得t=1,-2    代入得

, ,

相除得,即{}是首项为，

公比为的等比数列, =,  解得.

方法2： 

，

两边取倒数得，

令b，则b,转化为类型5来求. 

8.形如(其中p,q为常数)型

（1）当p+q=1时    用转化法

例1.数列中，若,且满足,求.

解：把变形为.

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则

    利用类型6的方法可得  .

（2）当时   用待定系数法.

例2. 已知数列满足，且,且满足,求.

解：令,即,与已知

比较，则有,故或

下面我们取其中一组来运算，即有,

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故

,即,利用类型   的方法，可得

. 

评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.

9. 形如(其中p,r为常数)型

（1）p>0，   用对数法.

例1.  设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设，则        是以2为公比的等比数列，   ，，，∴

练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.                       答案： 

（2）p<0时   用迭代法.

例1.（2005江西卷）

已知数列，

（1）证明   （2）求数列的通项公式an.

解：（1）略

（2）

所以  

又bn=－1，所以.

方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.

解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.