必修一 方程的根与函数的零点 练习题附答案

一、选择题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是()

[答案] A

2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()

A．至少有一实根B．至多有一实根

C．没有实根D．必有唯一的实根

[答案] D

3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x 12345 6

f(x)123.5621.45－7.8211.57－53.76－126.49 函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()

A．2个B．3个

C．4个D．5个

[答案] B

4．(2012～2013山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)为()

A．一定有零点B．可能有两个零点

C．一定有没有零点D．至少有一个零点[答案] B

[解析]若f(x)的图象如图所示否定C、D

若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)>0，f(b)>0，则否定A，故选B.

5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()

A．f(x)＝3x2－4x＋5

B．f(x)＝x3－5x－5

C．f(x)＝ln x－3x＋6

D．f(x)＝e x＋3x－6

[答案] D

[解析]A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，

∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．

B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.

在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．

∴f (x )＝0在[1,2]上无零点．

C ：由f (x )＝0得ln x ＝3x －6，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝3x －6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f (x )＝0在[1,2]内没有零点．

D ：∵f (1)＝e ＋3×1－6＝e －3<0，f (2)＝e 2>0， ∴f (1)·f (2)<0.

∴f (x )在[1,2]内有零点．

6．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．0

[答案] D

7．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2

－ax －1的零点是( )

A ．－1和1

6 B ．1和－1

6 C.12和13

D ．－12和－13

[答案] B

[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3， ∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－1

6.

8．(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x －3，x ≤0

－2＋ln x ，x >0

的零点个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] C

[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1； ∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2， ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点． 二、填空题

9．已知函数f (x )在定义域R 上的图象如图所示，则函数f (x )在区间R 上有________个零点．

[答案] 3

10．(上海大学附中2011～2012高一期末)方程10x ＋x －2＝0解的个数为________．

[答案] 1

[解析] 画函数y ＝10x 与y ＝2－x 的图象，只有一个交点，故方程只有一解．

11．已知函数f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则m 的取值范围是______________．

[答案] (－∞，－23]

[解析] ∵f (x )在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， ∴(－6m －4)(－4)≤0，解得m ≤－2

3. ∴实数m 的取值范围是(－∞，－2

3]．

12．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．

[答案] －3

[解析] 设另一个零点为x 1，则x 1＋1＝－2，∴x 1＝－3. 三、解答题

13．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：

x 1 2 3 f (x ) 136.136 15.552 －3.92 x 4 5 6 f (x )

10.88

－52.488

－232.0

求函数f (x )含有零点的区间．

[解析] 由表格知f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，故零点分布的区间应是(2,3)，(3,4)，(4,5)．

14．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 2＋4x －12

x －2；

(4)f (x )＝3x ＋1－7； (5)f (x )＝log 5(2x －3)．

[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－1

8和1.

(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．

(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)

x －2＝0，解得

x ＝－6，所以函数的零点为－6.

(4)令3

x ＋1

－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 37

3.

(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.

15．若函数f (x )＝x 2

＋(2a －1)x ＋1－2a 在(－1,0)及(0，12)内各有一个零点，求实数a 的范围．

[解析] 由y ＝f (x )在(－1,0)及(0，12)各有一个零点，只需

⎩⎨⎧ f (－1)>0f (0)<0f (12)>0即⎩⎨⎧ 3－4a >01－2a <034－a >0，解得1216．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？

[解析] 因为f (－1)＝2－1－(－1)2

＝－12<0， f (0)＝20－02＝1>0，

而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．