初三《圆》章节知识点以及经典例题

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

                 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

                 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内      点在圆内；

2、点在圆上      点在圆上；

3、点在圆外      点在圆外；

三．圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定一个圆

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离    无交点；

2、直线与圆相切    有一个交点；

3、直线与圆相交    有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）  无交点    ；

外切（图2）有一个交点 ；

相交（图3）有两个交点 ；

内切（图4）有一个交点 ；

内含（图5）   无交点   ；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

       （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

       （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

       以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

 ①是直径   ②  ③  ④ 弧弧  ⑤ 弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

          即：在⊙中，∵∥

              ∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；

③；④ 弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

    ∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

             ∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径        或∵

              ∴          ∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

               ∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

9、切线的性质与判定定理

直线和圆有唯一的公共点时，这条直线叫圆的切线，交点是切点。

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

     两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

               即：∵且过半径外端

                      ∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

         推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

         推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

        从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

       ∴

         平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，

              ∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，

              ∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

              ∴ 

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙中，∵、是割线

              ∴

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

             ∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：中，；

（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形   

 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式： 

：圆心角  ：扇形多对应的圆的半径   ：扇形弧长：扇形面积

2、圆柱： 

（1）圆柱侧面展开图

     =

（2）圆柱的体积： 

（2）圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积： 

圆  

一、选择

1。下列命题中正确的有(   )个

(1) 平分弦的直径垂直于弦

（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线

（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半

（4）平面内三点确定一个圆

（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等

(A) 1个    (B) 2个     (C) 3个    (D) 4个

2。如图，直线是的两条切线，

分别为切点，， 厘米，则弦的长为（    ）

A．厘米        B．5厘米      

C．厘米        D．厘米

3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（   ）

4。已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（  ）

A．      B．      C．2       D．3

5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为(   )      

A. 10 cm                B. 14.5 cm             C. 19.5 cm            D. 20 cm

6。如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移          _______个单位长．　

7。一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________

8。已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为       。

9。直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为        

10。点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________

11、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件           时，⊙P与直线CD相交．   

12。如图，点是上两点，，点是上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则        ．

13。已知是半径为的圆内的一条弦，点为圆上除点外任意一点，若，则的度数为        ．

14。⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______

15. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________

三、解答 

16。已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。

（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：

①            ；②             ；③              。

（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。

17。求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P．

18。如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．

19。如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．

20. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式。

答案：

1.A

2.A

3.B

4.A

5.B

6.4或6

7.

8.2或8

9.6.5cm

10.cm

11.4＜t≤6

12.5

13.60°或120°

14.3，相切

15.12

16.（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。

（2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。

∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，

又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，

∴∠DAC+∠EAC=90°，   ∴EF是⊙O的切线。

17. 作法：①作∠ABC的角平分线BD．

    ②过点P作PQ⊥BC，交BD于点O，则O为所求作圆的圆心．

    ③以O为圆心，以OP为半径作圆．

则⊙O就是所求作的圆

18. 连结AB．∵∠P=60°，AP=BP，

    ∴△APB为等边三角形．

    AB=PB=2cm，PB是⊙O的切线，PB⊥BC，

    ∴∠ABC=30°，

 ∴AC=2·=．

19. 扇形的半径为12，则=6，设⊙O2的半径为R．

    连结O1O2，O1O2=R+6，OO2=12-R．

    ∴Rt△O1OO2中，36+（12-R）2=（R+6）2，

    ∴R=4．

    S扇形=·122=36，S=·62=18，S=·42=8．

∴S阴=S扇形-S-S=36-18-8=10．

20. 如图所示，连接CD，∵直线为⊙C的切线，∴CD⊥AD。

∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。

又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。

作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=，

，∴OE=OC-CE=，∴点D的坐标为（，）。

设直线的函数解析式为，则                解得            k=，b=，

∴直线的函数解析式为y=x+.