国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)

来源：动视网责编：小OO 时间：2025-09-29 18:50:01

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届）1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R>r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），a.试确定AB2+BC2+CA2的所有可能值；b.试确定BC中点的轨迹．2. n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设i.每个Ai都恰有2n个元素；ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．试问对于什么样的n值有办法将B中的

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导读国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届）1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R>r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），a.试确定AB2+BC2+CA2的所有可能值；b.试确定BC中点的轨迹．2. n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设i.每个Ai都恰有2n个元素；ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．试问对于什么样的n值有办法将B中的

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届）

1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），

a.试确定AB2 + BC2 + CA2的所有可能值；

b.试确定BC中点的轨迹．

2. n是正整数， A1， A2， ... ， A2n+1 都是集合B的子集，假设

i.每个Ai 都恰有2n个元素；

ii.任何两个不同的 Ai恰有一个公共元素；

iii.B中的每个元素至少属于两个 Ai．

试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个 Ai 都恰好包含n个标0的元素．

3. 函数 f 定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且对每个正整数 n 有

f(2n) = f(n)， f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．

试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个数．

4. 试证明满足

1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)≥5/4.

的所有实数 x 的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是 1988．

5. 三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB， AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍．

6. a，b都是正整数，且 ab+1整除 a2 + b2. 求证(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方数．

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届）1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R>r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），a.试确定AB2+BC2+CA2的所有可能值；b.试确定BC中点的轨迹．2. n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设i.每个Ai都恰有2n个元素；ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．试问对于什么样的n值有办法将B中的

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