复合函数的单调性例

山西忻州五寨一中  摄爱忠

1.设定义域为Ａ，的值域为Ｂ，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，叫中间变量．

外函数：； 内函数： 

复合函数的单调性：同增异减.

2.

3.求解复合函数的单调性的步骤如下：

(1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；

(3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

(5)求出复合函数的单调性。

题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.

  例 题1：

◇已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是(   )

(A).(0,1)           (B).(1,2)            (C).(0,2)          (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a<2，∴1 变式训练：

◇已知函数，求其单调区间.

【分析】：由，得，即.

  而函数在上是增函数，函数在上是减函数，

故函数在上是减函数.

题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.

  例 题2：

◇求函数y=log0.5(x2+4x+3)的单调区间.

解：令y= log0.5u，u= x2+4x+3，由x2+4x+3>0知函数的定义域为，

因y= log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数，

在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+ ∞)上是减函数.

 变式训练：

◇讨论函数的单调性。

        解：函数定义域为R.   令u=x2-4x+3，y=0.8u。

      指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数，

       u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

      ∴ 函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

      这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。

 题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.

  例 题3：

◇ 函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是(    )

(A).  . 

解：令y=sinu，u= -2x，∵u= -2x 是R上的减函数，而y=sinu在u ∈[2kπ+，2kπ+]

(k∈Z)上单调递减，

根据函数单调性的复合规律，令2kπ+≤-2x≤2kπ+  得:

  当k=0时，  ，  故选(A) .

  例 题4：

◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性.

 解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log2x，y=u2+u

        ∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

         y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数

【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围.

令，则0＜x≤，

(u≥log2x≥x≥)

   所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。

 用数轴标单调区间如下：

 ①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调

区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.

 变式训练：

◇求函数的单调区间．

【解析】（1）此函数的定义域：；

（2）此函数是由函数复合所得；

（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减；

（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；

（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．

【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围.

◇函数的单调递减区间是         ；单调递减区间是      .

  题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.

  例 题5：

◇已知函数则

（A）在区间上是减函数  （B）在区间上是减函数

（C）在区间上是增函数 （D）在区间上是增函数

【解析】设，，

 外函数：增区间；减区间； 

 内函数：增区间；减区间 

当时， ，即＜1，x＞1或x＜-1；

当时， 即≥1，-1≤x≤1

用数轴标出单调区间如下：

显然，A正确.

 变式训练：

◇已知函数则的递增区间是           .

 【解析】设，；

 外函数：减区间； 增区间 

 内函数：减区间； 增区间 

 令；再令.

 用数轴标出单调区间如下：

故的单调递增区间为和.

 ①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调

区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.

 练习题组：

◇函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）.

（A） （B） （C）   （D）

答案为B.

【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视在恒成立.

◇函数在上单调递增，则的取值范围是(    ).

（A）（B） （C）  （D）

◇（2013福建）函数的图象大致是 

A．    B．    C．    D．

◇（2014天津）函数的单调递增区间是          

（A）  （B） （C）   （D）

◇求函数的单调区间

◇函数的单调区间是                           .

◇函数在上是增函数，求的取值范围．

◇函数的单调性判断错误的是

（A）在递减 （B）在递增  （C）在递减（D）在递增

◇（2014年全国卷）若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．

◇函数的单调递增区间是                            .

◇函数的单调递减区间是（ ）.

  题型5：已知函数的单调性求参数范围型.

  例 题5：

◇已知函数在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是_______。

【解析】如下：

 令u=x2-ax+3a，y=u． 因为y=u在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。

对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。   

 ◇若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。

  【解析】令u=-ax+3＞0，y=logau，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0

得x＜。

在[0，1]上，且u是减函数。 ∴ f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数。

       y=logau是增函数，且[0，1](-∞，]

       1＜a＜3 ． 所以a的取值范围是(1，3)。

 试一试：练习

◆已知函数在区间（２，+∞）上是减函数，则实数的取值范围是　　． 

◆若函数在区间（１，３）内单调递增，则的取值范围是　　　． 

◆若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　． 

◆已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　　　．