2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.  已知集合，集合，则的元素个数为（ ） 

2.  设复数满足，则         

3.  某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是        

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在，月

D.各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳

4.  的展开式中的系数为 （ ） 

5.  已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 

A. 

B. 

C. 

D. 

6.  设函数，则下列结论错误的是（ ） 

A. 的一个周期为

B. 的图象关于直线对称

C. 的一个零点为

D. 在单调递减

7.  执行如图的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（ ）

8.  已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） 

9.  等差数列的首项为，公差不为．若，，成等比数列，则前项的和为（        ） 

10.  已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 

11.  已知函数有唯一零点，则（        ） 

12.  在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（        ） 

  若，满足约束条件，则的最小值为________． 

  设等比数列满足，，则________． 

  设函数，则满足的的取值范围是________． 

  ，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成角时，与成角；

②当直线与成角时，与成角；

③直线与所成角的最小值为；

④直线与所成角的最小值为；

其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号） 

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

的内角，，的对边分别为，，，已知，，．  

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设为边上一点，且，求的面积．

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；

（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？

 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． 

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

 已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆．  

（Ⅰ）证明：坐标原点在圆上；

（Ⅱ）设圆过点，求直线与圆的方程．

 已知函数．  

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．  

（Ⅰ）写出的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．

[选修4-5：不等式选讲]

 已知函数．  

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围．