2016年福建中考数学真题卷含答案解析

数学试题（含答案全解全析）

(满分:150分　时间:120分钟)

第Ⅰ卷(选择题,共36分)

一、选择题(共12小题,每题3分,满分36分;每小题只有一个正确选项)

1.下列实数中的无理数是(　　)

A.0.7    B.        C.π        D.-8

2.如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是(　　)

3.如图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2的位置关系是(　　)

A.同位角        B.内错角        C.同旁内角    D.对顶角

4.下列算式中,结果等于a6的是(　　)

A.a4+a2        B.a2+a2+a2    C.a2·a3    D.a2·a2·a2

5.不等式组的解集是(　　)

A.x>-1    B.x>3    C.-16.下列说法中,正确的是(　　)

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为

C.概率很小的事件不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次

7.A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是(　　)

8.平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是(　　)

A.(-2,1)        B.(-2,-1)        C.(-1,-2)        D.(-1,2)

9.如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是(　　)

A.(sin α,sin α)    B.(cos α,cos α)

C.(cos α,sin α)    D.(sin α,cos α)

10.下表是某校合唱团成员的年龄分布

A.平均数,中位数    B.众数,中位数

C.平均数,方差    D.中位数,方差

11.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是(　　)

12.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是(　　)

A.a>0    B.a=0    C.c>0    D.c=0

第Ⅱ卷(非选择题,共114分)

二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)

13.分解因式:x2-4=　　　　　　　. 

14.若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　　　. 

15.已知四个点的坐标分别是(-1,1),(2,2),,,从中随机选取一个点,在反比例函数y=图象上的概率是　　　　. 

16.如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r上,下方的弧半径为r下,则r上　　　　r下.(填“>”“=”或“<”) 

17.若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是　　　　. 

18.如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是　　　　. 

三、解答题(共9小题,满分90分)

19.(7分)计算:|-1|-+(-2 016)0.

20.(7分)化简:a-b-.

21.(8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.

求证:∠BAC=∠DAC.

22.(8分)列方程(组)解应用题:

某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张?

23.(10分)福州市2011—2015年常住人口数统计如图所示.

根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)福州市常住人口数,2015年比2014年增加了　　　　万人; 

(2)与上一年相比,福州市常住人口数增加最多的年份是　　　　; 

(3)预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人?请用所学的统计知识说明理由.

24.(12分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为中点,连接BM,CM.

(1)求证:BM=CM;

(2)当☉O的半径为2时,求的长.

25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.

(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;

(2)求∠ABD的度数.

26.(13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.

(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;

(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;

(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.

27.(13分)已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).

(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;

(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;

(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.

答案全解全析：

一、选择题

1.C　0.7为有限小数,为分数,-8为整数,都属于有理数,π为无限不循环小数,属于无理数.故选C.

2.C　根据俯视图的定义可知选C.

3.B　∠1与∠2是内错角.故选B.

4.D　A.a4+a2≠a6;B.a2+a2+a2=3a2;

C.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a3=a5;

D.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a2·a2=a6.故选D.

5.B　

解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x>3,

∴x>3,故原不等式组的解集是x>3.故选B.

6.A　A.不可能事件发生的概率为0,所以A选项正确;

B.随机事件发生的概率在0与1之间,所以B选项错误;

C.概率很小的事件不是不可能发生,而是发生的概率较小,所以C选项错误;

D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数可能为50次,所以D选项错误.故选A.

7.B　表示互为相反数的点,必须要满足在数轴原点的左、右两侧,且到原点的距离相等.故选B.

8.A　∵A(m,n),C(-m,-n),

∴点A和点C关于原点对称,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴点D和点B关于原点对称,

∵B(2,-1),

∴点D的坐标是(-2,1).

故选A.

9.C　过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,

在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,

∴sin α=,cos α=,即PQ=sin α,OQ=cos α,

∴点P的坐标为(cos α,sin α).故选C.

评析　熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.

10.B　由题表可知,年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10,则总人数为5+15+10=30,

故该组数据的众数为14岁,中位数为=14岁,

即对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,故选B.

11.C　∵点A(-1,m),B(1,m),

∴点A与B关于y轴对称,故A,B错误;

∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,

∴C正确,D错误.故选C.

12.D　若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根,

则Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0.

∴ac≤4,且a≠0.

A.若a>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;

B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误;

C.若c>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;

D.若c=0,则ac=0≤4,故此选项正确.故选D.

评析　本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0⇔方程没有实数根.

二、填空题

13.答案　(x+2)(x-2)

解析　x2-4=(x+2)(x-2).

14.答案　x≥1

解析　若二次根式在实数范围内有意义,则x-1≥0,解得x≥1.

15.答案　

解析　∵-1×1=-1,2×2=4,×=1,(-5)×=1,

∴点,在反比例函数y=的图象上,

∴随机选取一点,在反比例函数y=图象上的概率是=.

16.答案　<

解析　如图.

易得r上17.答案　98

解析　x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy],将x+y=10,xy=1代入,得原式=1×(102-2×1)=98.

18.答案　

解析　如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=a,EB=2a,

∴∠AEB=90°,

∴tan∠ABC===.

三、解答题

19.解析　原式=1-2+1=0.

20.解析　原式=a-b-(a+b)=a-b-a-b=-2b.

21.证明　在△ABC与△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SSS).

∴∠BAC=∠DAC.

22.解析　设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张.

由题意,得24x+18(35-x)=750.

解得x=20.

∴35-x=15.

答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.

23.解析　(1)7.

(2)2014.

(3)预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.理由如下:

从统计图可以看出,福州市常住人口每年增加的数量的众数为7万人,因此预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.(答案不唯一,言之有理即可得分)

24.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=CD,∴=.

∵M为中点,∴=,∴=,∴BM=CM.

(2)连接OM,OB,OC.

∵=,∴∠BOM=∠COM.

∵正方形ABCD内接于☉O,

∴∠BOC==90°.

∴∠BOM=135°.

由弧长公式,得的长l==π.

25.解析　(1)∵AD=BC=,

∴AD2==.

∵AC=1,

∴CD=1-=,

∴AD2=AC·CD.

(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,

∴BC2=AC·CD,即=.

又∠C=∠C,

∴△ABC∽△BDC.

∴=.

又AB=AC,

∴BD=BC=AD.

∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.

设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,

∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,

∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.

解得x=36°.

∴∠ABD=36°.

评析　本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得△ABC∽△BDC是解题的关键.

26.解析　(1)由折叠可知△ANM≌△ADM,

∴∠MAN=∠DAM.

∵AN平分∠MAB,

∴∠MAN=∠NAB.

∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠DAB=90°.

∴∠DAM=30°,

∴DM=AD·tan∠DAM=3×=.

(2)如图,延长MN交AB的延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥DC,

∴∠DMA=∠MAQ.

由折叠可知△ANM≌△ADM,

∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.

∴∠MAQ=∠AMQ,

∴MQ=AQ.

设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.

在Rt△ANQ中,AQ2=AN2+NQ2,

∴(x+1)2=32+x2.

解得x=4.

∴NQ=4,AQ=5.

∵AB=4,AQ=5,

∴S△NAB=S△NAQ=×AN·NQ=.

(3)如图,过点A作AH⊥BF于点H,则△ABH∽△BFC.

∴=.

∵AH≤AN=3,AB=4,

∴当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.

(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大)

此时点M,F重合,B,N,M三点共线,△ABH≌△BFC(如图).

∴CF=BH===,

∴DF的最大值为4-.

评析　本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强,难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.

27.解析　根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a≠0).

(1)∵h=1,k=2,

∴y=a(x-1)2+2,

∵该抛物线经过原点,

∴a+2=0,

解得a=-2,

∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.

(2)∵抛物线y=tx2(t≠0)经过点A(h,k),

∴k=th2.

∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2.

∵抛物线y=a(x-h)2+th2(a≠0)经过原点,

∴ah2+th2=0.

∵h≠0,

∴a=-t.

(3)∵点A(h,k)在抛物线y=x2-x上,

∴k=h2-h.

∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h.

∵抛物线y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)经过原点,

∴ah2+h2-h=0.

∵h≠0,

∴a=-1.

分两类讨论:

①当-2≤h<0时,由反比例函数性质可知≤-,

∴a≤-;

②当01,

∴a>0.

综上所述,a的取值范围是a≤-或a>0.

评析　本题考查二次函数等知识,解题的关键是学会用参数解决问题,题目比较难,参数比较多,第三个问题要注意讨论,属于中考压轴题.