海南省海口十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

海南省海口十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）流程图中表示判断框的是（）

    A．    矩形框    B．    菱形框    C．    圆形框    D．    椭圆形框

2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）

    A．    1，3    B．    4，1    C．    0，0    D．    6，0

3．（5分）在△ABC中，若a=2，，A=30°则B为（）

    A．    60°    B．    60°或120°    C．    30°    D．    30°或150°

4．（5分）在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）

    A．    1    B．    3    C．    ±1    D．    ±3

5．（5分）已知{an}是等差数列，且a2+a3+a8+a11=48，则a5+a7=（）

    A．    12    B．    16    C．    20    D．    24

6．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）

    A．    a＞b＞    B．    a＞＞b    C．    a＞    D．    a＞＞b

7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）

    A．    a＜﹣7或 a＞24    B．    a=7 或 a=24    C．    ﹣7＜a＜24    D．    ﹣24＜a＜7

8．（5分）等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为（）

    A．    81    B．    120    C．    168    D．    192

9．（5分）设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）

    A．    [1，2）    B．    [1，2]    C．    （2，3]    D．    [2，3]

10．（5分）下列不等式的证明过程正确的是（）

    A．    若a，b∈R，则

    B．    若x，y∈R+，则

    C．    若x∈R﹣，则

    D．    若x∈R﹣，则

11．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）

    A．    23和26    B．    31和26    C．    24和30    D．    26和30

12．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）

    A．    60辆    B．    80辆    C．    70辆    D．    140辆

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．

14．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填．

15．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为．

16．（5分）数据80，81，82，83的方差是．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（12分）（1）求函数y=的定义域；

（2）设a，b为实数且a+b=3，求2a+2b的最小值．

18．（12分）在△ABC中，A=120°，a=，S△ABC=，求b，c．

19．（10分）某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在2014-2015学年高一年级抽取了75人，2014-2015学年高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？

20．（12分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和Sn．

21．（12分）画出求P=1*2*3*…*99*100的值的算法流程图．

22．（12分）为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高情况进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别    频数    频率

145.5～149.5    1    0.02

149.5～153.5    4    0.08

153.5～157.5    20    0.40

157.5～161.5    15    0.30

161.5～165.5    8    0.16

165.5～169.5    m    n

合计    M    N

（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？

（2）画出频率分布直方图；

（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？

海南省海口十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）流程图中表示判断框的是（）

    A．    矩形框    B．    菱形框    C．    圆形框    D．    椭圆形框

考点：    流程图的概念． 

专题：    图表型．

分析：    根据算法框图中表示判断的是菱形框，故选择菱形框，得到结果．

解答：    解：流程图中矩形框表示处理框

菱形框表示判断框

圆形框（圆角矩形框）表示起止框

没有椭圆形框

故选B

点评：    本题考查算法的特点，本题解题的关键是知道几种不同的几何图形所表示的意义，才能正确选择．

2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）

    A．    1，3    B．    4，1    C．    0，0    D．    6，0

考点：    程序框图． 

专题：    操作型．

分析：    分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用顺序结构计算变量a，b的值，并输出，逐行分析程序各语句的功能不难得到结果．

解答：    解：∵a=1，b=3

∴a=a+b=3+1=4，

∴b=a﹣b=4﹣3=1．

故输出的变量a，b的值分别为：4，1

故选B

点评：    根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

3．（5分）在△ABC中，若a=2，，A=30°则B为（）

    A．    60°    B．    60°或120°    C．    30°    D．    30°或150°

考点：    正弦定理． 

专题：    计算题．

分析：    利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．

解答：    解：由正弦定理可知 =，

∴sinB==

∵B∈（0，180°）

∴∠B=60°或120°°

故选B．

点评：    本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．

4．（5分）在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）

    A．    1    B．    3    C．    ±1    D．    ±3

考点：    等比数列的通项公式． 

专题：    计算题；等差数列与等比数列．

分析：    由等比数列的性质可知，，可求

解答：    解：∵a1=，a5=9，

由等比数列的性质可知，=1

∴a3=±1

当a3=﹣1时，=﹣9不合题意

∴a3=1

故选A

点评：    本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

5．（5分）已知{an}是等差数列，且a2+a3+a8+a11=48，则a5+a7=（）

    A．    12    B．    16    C．    20    D．    24

考点：    等差数列的通项公式． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    把已知条件用首项和公差表示，求出2a1+10d=24，而a5+a7=2a1+10d，则答案可求．

解答：    解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由a2+a3+a8+a11=48，得4a1+20d=48，∴2a1+10d=24．

而a5+a7=a1+4d+a1+6d=2a1+10d，

∴a5+a7=24．

故选：D．

点评：    本题考查了等差数列的通项公式，关键是把已知和要求的式子都化为首项和公差的形式，是基础题．

6．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）

    A．    a＞b＞    B．    a＞＞b    C．    a＞    D．    a＞＞b

考点：    不等关系与不等式． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．

解答：    解：∵a＞b＞0，

∴，

故选：D．

点评：    本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，属于基础题．

7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）

    A．    a＜﹣7或 a＞24    B．    a=7 或 a=24    C．    ﹣7＜a＜24    D．    ﹣24＜a＜7

考点：    二元一次不等式的几何意义． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．

解答：    解：∵点（3，1）与B（﹣4，6），在直线3x﹣2y+a=0的两侧，

∴两点对应式子3x﹣2y+a的符号相反，

即（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＜0，

即（a+7）（a﹣24）＜0，

解得﹣7＜a＜24，

故选：C．

点评：    题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．

8．（5分）等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为（）

    A．    81    B．    120    C．    168    D．    192

考点：    等比数列的性质． 

专题：    计算题．

分析：    根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{an}的前4项和．

解答：    解：因为==q3=27，解得q=3

又a1===3，则等比数列{an}的前4项和S4==120

故选B

点评：    此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

9．（5分）设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）

    A．    [1，2）    B．    [1，2]    C．    （2，3]    D．    [2，3]

考点：    交集及其运算． 

专题：    集合．

分析：    根据已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．

解答：    解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）

N={x|1≤x≤3}=[1，3]，

∴M∩N=[1，2）

故选A

点评：    本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合M，N，并用区间表示是解答本题的关键．

10．（5分）下列不等式的证明过程正确的是（）

    A．    若a，b∈R，则

    B．    若x，y∈R+，则

    C．    若x∈R﹣，则

    D．    若x∈R﹣，则

考点：    基本不等式． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    根据基本不等式的使用条件，以及基本不等式的等号成立的条件，逐一检验各个选项，可得只有D正确，从而得出结论．

解答：    解：A不正确，因为a、b不满足同号，故不能用基本不等式．

B 不正确，因为lgx和 lgy 不一定是正实数，故不能用基本不等式．

C不正确，因为 x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式．

D正确，因为 2x 和2﹣x都是正实数，故成立，当且仅当2x=2﹣x相等时（即x=0时），等号成立．

故选D．

点评：    本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．

11．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）

    A．    23和26    B．    31和26    C．    24和30    D．    26和30

考点：    众数、中位数、平均数；茎叶图． 

专题：    概率与统计．

分析：    由茎叶图得11个数分别为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41， 42，由此能求出众数和中位数．

解答：    解：由茎叶图，得11个数分别为：

12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42，

∴众数为31，中位数为26．

故选：B．

点评：    本题考查众数和中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．

12．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）

    A．    60辆    B．    80辆    C．    70辆    D．    140辆

考点：    频率分布直方图． 

专题：    计算题．

分析：    根据已知中的频率分布直方图，我们可以计算出时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和，进而得到时速在[50，70）的数据的频率，结合样本容量为200，即可得到时速在[50，70）的数据的频数，即时速在[50，70）的汽车的辆数．

解答：    解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07

由于数据的组距为10

故时速在[50，70）的数据的频率为：0.07×10=0.7

故时速在[50，70）的数据的频数为：0.7×200=140

故选D

点评：    本题考查的知识点是频率分布直方图，其中频率=矩形高×组距=是解答此类问题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．

考点：    基本不等式． 

专题：    计算题．

分析：    变形为x与4y的乘积，利用 基本不等式求最大值

解答：    解：，当且仅当x=4y=时取等号．

故应填．

点评：    考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．

14．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填y=2.6x+1.8．

考点：    程序框图． 

专题：    图表型．

分析：    根据题意，当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，进而可得函数的解析式．

解答：    解：由题意可知，

当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，

而超过2公里时，按超过的里程每公里收2.6元，

∴y=2.6（x﹣2）+7

整理可得y=2.6x+1.8，

∴①处应填y=2.6x+1.8．

故答案为：y=2.6x+1.8．

点评：    本题考查了程序框图，考查的形式是程序填空，该题型也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．属于基础题．

15．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为﹣6．

考点：    简单线性规划． 

专题：    数形结合；不等式的解法及应用．

分析：    由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答：    解：由约束条件作出可行域如图，

化z=2x+4y为y=﹣x+．

由图可知，当直线y=﹣x+过A（3，﹣3）时z有最小值，等于2×3+4×（﹣3）=﹣6．

故答案为：﹣6．

点评：    本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

16．（5分）数据80，81，82，83的方差是1.25．

考点：    极差、方差与标准差． 

专题：    概率与统计．

分析：    求出平均数．然后利用方差公式求解即可．

解答：    解：数据80，81，82，83的平均数为：=81.5．

∴数据80，81，82，83的方差是：[（80﹣81.5）2+（81﹣81.5）2+（82﹣81.5）2+（83﹣81.5）2]=1.25．

故答案为：1.25．

点评：    本题考查数据的方差，基本知识的考查．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（12分）（1）求函数y=的定义域；

（2）设a，b为实数且a+b=3，求2a+2b的最小值．

考点：    基本不等式；函数的定义域及其求法． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    （1）解不等式4﹣x2＞0可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜2}；

（2）由基本不等式可得2a+2b≥2=2=4，注意等号成立的条件即可．

解答：    解：（1）要使函数y=有意义，

需4﹣x2＞0，解﹣2＜x＜2

∴原函数的定义域为{x|﹣2＜x＜2}；

（2）∵a，b为实数且a+b=3，

∴2a+2b≥2=2=4

当且仅当2a=2b，即a=b时取等号，

∴2a+2b的最小值为：4

点评：    本题考查基本不等式求最值，涉及函数的定义域的求解，属基础题．

18．（12分）在△ABC中，A=120°，a=，S△ABC=，求b，c．

考点：    余弦定理． 

专题：    解三角形．

分析：    由 =，可得bc=4 ①．再由余弦定理可得 21=b2+c2+4，即 b2+c2=17 ②．由①②解得 b和c的值．

解答：    解：在△ABC中，∵A=120°，a=，S△ABC=，∴=，即 bc=4 ①．

再由余弦定理可得 a2=21=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2+bc=b2+c2+4，∴b2+c2=17 ②．

由①②解得 b=4，c=1； 或者b=1，c=4．

点评：    本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题．

19．（10分）某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在2014-2015学年高一年级抽取了75人，2014-2015学年高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？

考点：    分层抽样方法． 

专题：    计算题．

分析：    采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，在2014-2015学年高一年级抽取了75人，2014-2015学年高二年级抽取了60人，得到在高三抽取的人数，算出在抽样过程中，每个个体被抽到的概率，用样本容量除以被抽到的概率，得到总人数．

解答：    解：∵采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，

在2014-2015学年高一年级抽取了75人，2014-2015学年高二年级抽取了60人，

∴在高三抽取了185﹣75﹣60=50，

∵高三有学生1000人，

∴在抽样过程中，每个个体被抽到的概率是=

∵采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本

∴高中部共有学生185÷=3700人．

点评：    抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．

20．（12分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和Sn．

考点：    等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    由题意易得等差数列{an}的首项和公差，进而可得通项公式和Sn

解答：    解：（1）∵等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9，

∴公差d===﹣2，

∴a1=5﹣2d=9

∴{an}的通项公式为an=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11；

（2）由（1）知a1=9，an=﹣2n+11，

∴{an}的前n项和Sn===﹣n2+10n

点评：    本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．

21．（12分）画出求P=1*2*3*…*99*100的值的算法流程图．

考点：    设计程序框图解决实际问题． 

专题：    应用题；算法和程序框图．

分析：    由已知中程序的功能为用循环结构计算1×2×3…×100的值，为累加运算，且要反复累加100次，可令循环变量的初值为1，终值为100，步长为1，由此确定循环前和循环体中各语句，即可得到相应的程序框图．

解答：    解：由已知中程序的功能为用循环结构计算1×2×3…×100的值，为累加运算，且要反复累加100次，可令循环变量的初值为1，终值为100，步长为1，由此确定循环前和循环体中各语句，即可得到相应的程序框图如下：

点评：    本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，其中熟练掌握利用循环进行累加和累乘运算的方法，是解答本题的关键，属于基本知识的考查．

22．（12分）为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高情况进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别    频数    频率

145.5～149.5    1    0.02

149.5～153.5    4    0.08

153.5～157.5    20    0.40

157.5～161.5    15    0.30

161.5～165.5    8    0.16

165.5～169.5    m    n

合计    M    N

（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？

（2）画出频率分布直方图；

（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？

考点：    用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． 

专题：    概率与统计．

分析：    （1）由频率的意义知，N=1，n=1﹣（0.02+0.08+0.40+0.30+0.16），由第一组的频率和频数，可求得m=2，M=1+4+20+15+8+2，从而得到结论．

（2）频率分布直方图如图．

（3）由频率分步表可得全体女生中身高在153.5～157.5这一组范围内的人数最多．

解答：    解：（1）由频率的意义知，N=1，…（2分）

n=1﹣（0.02+0.08+0.40+0.30+0.16）=0.04，…（3分）

由第一组的频率和频数，可求得m=2，M=1+4+20+15+8+2=50．…（4分）

∴m=2，n=0.04，M=50，N=1．…（6分）

（2）频率分布直方图如图．

 …（10分）

（3）由频率分步表可得全体女生中身高在153.5～157.5这一组范围内的人数最多，为20人．…（12分）

点评：    本题主要考查频率分步表、频率分步直方图的应用，属于基础题．