线性代数题库

×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若，则__________。

2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足         。   

3．已知矩阵，满足，则与分别是            阶矩阵。

4．矩阵的行向量组线性          。

5．阶方阵满足，则            。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（   ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（   ）    

3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（   ）

4.，则。（   ）

5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 (   )

三、单项选择题  (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 

1. 设为阶矩阵，且，则（     ）。

①    ②            ③           ④ 4

2.维向量组（3  s  n）线性无关的充要条件是（     ）。

①中任意两个向量都线性无关

②中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④中不含零向量

3. 下列命题中正确的是(     )。                                      

①  任意个维向量线性相关

②  任意个维向量线性无关

③  任意个维向量线性相关

④  任意个维向量线性无关

4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是(     )。

① 若，均可逆，则可逆                   ② 若，均可逆，则  可逆

③ 若可逆，则可逆                    ④ 若可逆，则，均可逆

5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（   ）

① 解向量         ② 基础解系         ③ 通解           ④ A的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

1. 计算行列式。

解·

2. 设，且  求。

解.         ， 

3. 设  且矩阵满足关系式求。

4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。

5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

① 当且时，方程组有唯一解；

②当时方程组无解

③当时，有无穷多组解，通解为

6. 设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设，求的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)

若是阶方阵，且 证明。其中为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1.  5       2.       3.    4. 相关       

5.  

二、判断正误

1.  ×       2.  √         3.  √        4.    √      5.    ×

三、单项选择题

1.  ③       2.   ③         3.  ③         4.    ②         5.   ①

四、计算题

1. 

2.

         ， 

3. 

4. 

当或时，向量组线性相关。

5.

① 当且时，方程组有唯一解；

②当时方程组无解

③当时，有无穷多组解，通解为

6. 

则，其中构成极大无关组， 

7. 

特征值，对于λ1＝1，，特征向量为

五、证明题

∴，        ∵

一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1.如果，则=(         ).

A.；                  B.；

C.；               D.。

2. 设是矩阵，则(     )成立.

A.；               B.；

C.；      D.。

3. 设是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是(      ).

A.的行向量组线性无关             B.的列向量组线性无关

C.的行向量组线性相关             D.的列向量组线性相关

4. 设，则分别等于（ 　）．

A.            B.      C.             D. 

5. 若是方程的解，是方程的解，则（            ）是方程的解（为任意常数）.

A.            B.            C.           D. 

二.填空题（每小题3分，共15分）

1.设均为阶方阵，且，则=                              .

2. =                   .

3. 若对任意的3维列向量，则=　              　　　  　　．

4．设与正交，且则=  　　　　， =               ．

5. 设向量组线性             关.

三.计算行列式（10分）

四.（10分）设求向量组的秩和一个最大无关组.

五.（10分）已知矩阵满足，其中，，求.

六.（8分）设方阵满足证明可逆，并求的逆矩阵.

七.(8分）已知向量组线性无关，，，，证明向量组线性无关.

八.（12分）求矩阵的特征值和对应于特征值的所有特征向量。

九.（12分）取何值时，下列非齐次线性方程组

(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。

一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分）

1.;  2.   3.;  4 .,;  5. 无关

二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分

1. (B);     2. (D) ;    3. (D);     4．(C)  ;     5. (A).

三、（10分）

    解：               3分

                     3分

                                  4分

四 （10分）

解：，所以A可逆，有，          4分

                                 3分

       3分

五. （10分）

解：   2分

        6分

   向量组的秩为4，为最大无关组。           2分

六、 证明：恒等变形，，         3分

       ，所以可逆，且。    3分

七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

  ，             3分

设，以代入得

，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知，

3分

  又因，知方程只有零解。

所以矩阵B的列向量组线性无关。                   4分

证法二： 把已知条件合写成，        3分

因，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知  3分

因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知，从而，

再由定理4知矩阵B的三个列向量组线性无关。       4分

八  （12分）

解: 

                                  4分

                         4分

向量。                   4分

九．（12分）

    解：  

                                   4分

（1）当时，，方程组无解；           

（2）当时，，方程组有唯一解； 

（3）当时，，方程组有无穷多个解。   4分

原方程组同解于，，               

通解，（）。                              4分

线性代数习题和答案

好东西

第一部分  选择题  (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式=m， =n，则行列式等于（     ）

  A. m+n                                    B. -(m+n)

  C. n-m                                    D. m-n

2.设矩阵A=，则A-1等于（     ）

  A.                                B. 

  C.                                D. 

3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（     ）

  A. –6                                        B. 6

  C. 2                                        D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（     ）

  A. A =0                                        B. BC时A=0

  C. A0时B=C                                D. |A|0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（     ）

  A. 1                                        B. 2

  C. 3                                        D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（     ）

  A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

  B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

  C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

  D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（     ）

  A.所有r-1阶子式都不为0                B.所有r-1阶子式全为0

  C.至少有一个r阶子式不等于0            D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（     ）

  A.η1+η2是Ax=0的一个解            B.η1+η2是Ax=b的一个解

  C.η1-η2是Ax=0的一个解            D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（     ）

  A.秩(A)  C.A=0                                D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（     ）

  A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

  B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

  C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

  D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（     ）

  A. k≤3                         B. k<3

  C. k=3                             D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（     ）

  A.|A|2必为1                        B.|A|必为1

  C.A-1=AT                            D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（     ）

  A.A与B相似

  B. A与B不等价

  C. A与B有相同的特征值

  D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（     ）

  A.                            B. 

  C.                        D. 

第二部分  非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

15.         .

16.设A=，B=.则A+2B=         .

17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=        .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=        .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为        .

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=      .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为       .

23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为         .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为       .

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.

26.试计算行列式.

27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.

试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=.

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形

      f(x1,x2,x3)=，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；

 （2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

1.D            2.B            3.B            4.D            5.C

6.D            7.C            8.A            9.A            10.B

11.A            12.B            13.D            14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15. 6

16. 

17. 4

18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数

20. n-r

21. –5

22. –2

23. 1

24. 

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.解（1）ABT=

=.

（2）|4A|=43|A|=|A|，而

|A|=.

所以|4A|=·（-2）=-128

26.解  

=

=

27.解  AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1=

所以  B=(A-2E)-1A=

=

28.解一  

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

解二  考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

即  

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解  对矩阵A施行初等行变换

A

=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解  A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，   ξ2=（2，0，1）T.

经正交标准化，得η1=，η2=.

λ=-8的一个特征向量为

ξ3=，经单位化得η3=

所求正交矩阵为  T=.

对角矩阵  D=

（也可取T=.）

31.解  f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

设，  即，

因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。

经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

              y12-2y22-5y32 .

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.证  由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，

所以E-A可逆，且

（E-A）-1= E+A+A2 .

33.证  由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，

所以η1，η2是Ax=b的2个解。

（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即   （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以

l1ξ1+l2ξ2=0.

         又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而  l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。