2020-2021学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级(上)期中数学试卷

一、选择题

1．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．4的平方根是（　　）

A．±2 B．2 C．± D．

3．“厉害了，华为!”2019年1月7日，华为宣布推出业界最高性能ARM﹣based处理器一鲲鹏920．据了解，该处理器采用7纳米制造工艺．已知1纳米＝0.000 000 001米，则7纳米用科学记数法表示为（　　）

A．7×10﹣9米 B．7×10﹣8米 C．7×108米 D．0.7×10﹣8米

4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　）

A．3，4，5 B．，， C．8，15，17 D．5，12，13

5．下列计算正确的是（　　）

A．2×3＝6 B．+＝ C．2﹣＝2 D．2÷＝

6．x，y满足方程，则x+y的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．

7．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．如图，过点A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（　　）

A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝3﹣x

9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）

A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜﹣2

10．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（　　）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）

12．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝72；③c＝98．其中正确的是（　　）

A．②③ B．①②③ C．①② D．①③

二、填空题

13．一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝　   　．

14．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b的值为　 　．

15．点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020＝　 　．

16．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是　      　．

三、解答题

17．计算．

（1）（﹣2）×﹣6．

（2）．

18．解方程组．

（1）．

（2）．

19．某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．

（1）月用电量为100度时，应交电费　   　元．

（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式为　   　．

（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？

20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD．

（1）求证：OP＝OG；

（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；

（3）求AP的长．

21．如图，已知直线AB：y＝x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C（2，0）和点D（0，1），连接BD．

（1）求直线AC的解析式．

（2）求交点A的坐标，并求出△ABD的面积．

（3）在轴上是否存在一点P，使得△APD周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B牌的口罩共需480元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需370元．

（1）求这两种品牌口罩的单价．

（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优恵销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售，设购买x盒A品牌的口罩需要的y1元，购买x盒B品牌的口罩需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式．

（3）当需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？

23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．

（1）求正比例函数与一次函数的关系式．

（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．

（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．

2020-2021学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：＝6，

无理数有：，，，共有3个，

故选：B．

2．4的平方根是（　　）

A．±2 B．2 C．± D．

【解答】解：∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2．

故选：A．

3．“厉害了，华为!”2019年1月7日，华为宣布推出业界最高性能ARM﹣based处理器一鲲鹏920．据了解，该处理器采用7纳米制造工艺．已知1纳米＝0.000 000 001米，则7纳米用科学记数法表示为（　　）

A．7×10﹣9米 B．7×10﹣8米 C．7×108米 D．0.7×10﹣8米

【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．

故选：A．

4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　）

A．3，4，5 B．，， C．8，15，17 D．5，12，13

【解答】解：A．∵32+42＝52，

∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B．∵（）2+（）2≠（）2，

∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；

C．∵82+152＝172，

∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D．∵52+122＝132，

∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B．

5．下列计算正确的是（　　）

A．2×3＝6 B．+＝ C．2﹣＝2 D．2÷＝

【解答】解：A、原式＝6，所以A选项错误；

B、与不能合并，所以B选项错误；

C、原式＝，所以C选项错误；

D、原式＝，所以D选项正确．

故选：D．

6．x，y满足方程，则x+y的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．

【解答】解：，

①+②得，6x+6y＝﹣12，

6（x+y）＝﹣12，

x+y＝﹣2，

故选：A．

7．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；

B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项正确；

C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；

D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；

故选：B．

8．如图，过点A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（　　）

A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝3﹣x

【解答】解：由图可知：A（0，3），xB＝1．

∵点B在直线y＝2x上，

∴yB＝2×1＝2，

∴点B的坐标为（1，2），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

则有：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；

故选：D．

9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）

A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜﹣2

【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+t（k≠0），

∵直线l过点（﹣2，3）．点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1），

∴斜率k＝＝＝，即k＝＝b﹣3＝，

∵直线l经过一、二、三象限，

∴k＞0，

∴a＞3，b＞3，c＜﹣2．

故选：D．

10．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（　　）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，

如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，

此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；

如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，

则BC的长为6或10．

故选：C．

11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）

【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠COE+∠AOD＝90°，

又∵∠OAD+∠AOD＝90°，

∴∠OAD＝∠COE，

在△AOD和△OCE中，

，

∴△AOD≌△OCE（AAS），

∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，

∵点C在第二象限，

∴点C的坐标为（﹣，1）．

故选：A．

12．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝72；③c＝98．其中正确的是（　　）

A．②③ B．①②③ C．①② D．①③

【解答】解：由函数图象可知，

甲的速度为8÷2＝4（米/秒），乙的速度为400÷80＝5（米/秒），

∴a＝8÷（5﹣4）＝8，故①正确；

b＝5×80﹣4×（80+2）＝5×80﹣4×82＝400﹣328＝72，故②正确；

c＝400÷4﹣2＝98，故③正确；

∴正确的是①②③．

故选：B．

二、填空题

13．一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝　﹣6　．

【解答】解；把（﹣1，3）代入y＝kx﹣3中，

k•（﹣1）﹣3＝3，

解得：k＝﹣6，

故答案为：﹣6．

14．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b的值为　3　．

【解答】解：由题意得，a2﹣1≥0，1﹣a2≥0，a﹣1≠0，

解得，a＝﹣1，

则b＝4，

则a+b＝3，

故答案为：3．

15．点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020＝　1　．

【解答】解：∵点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，

∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，

解得：a＝3，b＝﹣4，

∴（a+b）2020＝（3﹣4）2020＝（﹣1）2020＝1．

故答案为：1．

16．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是　（0，6）　．

【解答】解：∵A（1，4），B（3，0），

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，

∵|BC﹣AC|≤AB，

∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，

此时C（0，6）

故答案为（0，6）

三、解答题

17．计算．

（1）（﹣2）×﹣6．

（2）．

【解答】解：（1）

＝

＝

＝﹣．

（2）

＝

＝

＝﹣2．

18．解方程组．

（1）．

（2）．

【解答】解：（1），

由①，可得：y＝2x﹣5③，

③代入②，可得：3x﹣2（2x﹣5）＝8，

解得x＝2，

把x＝2代入③，解得y＝﹣1，

∴原方程组的解是．

（2）∵，

∴，

①×3+②×2，可得7x＝﹣7，

解得x＝﹣1，

把x＝﹣1代入①，解得y＝﹣1，

∴原方程组的解是．

19．某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．

（1）月用电量为100度时，应交电费　60　元．

（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式为　　．

（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？

【解答】解：（1）由图可知，当x＝100时，y＝60，

即当用电量为100度时，应交电费60元．

故答案为：60．

（2）当x≥100时，设y＝kx+b（k≠0），

由图可知图象过（100，60），（200，110）两点，

代入可得，

解得：，

故y与x之间的函数关系式为．

故答案为：．

（3）当用电量为260度时，（元），

即应交电费140元．

20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD．

（1）求证：OP＝OG；

（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；

（3）求AP的长．

【解答】（1）证明：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，

∵△ABP沿BP翻折至△EBP，

∴△ABP≌△EBP，

∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，

在△ODP和△OEG中，，

∴△ODP≌△OEG（ASA），

∴OP＝OG；

（2）解：∵△ODP≌△OEG，

∴PD＝GE，

∴DG＝EP，

设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，

∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x；

（3）解：由勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，

即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，

解得：x＝4.8，

∴AP＝4.8．

21．如图，已知直线AB：y＝x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C（2，0）和点D（0，1），连接BD．

（1）求直线AC的解析式．

（2）求交点A的坐标，并求出△ABD的面积．

（3）在轴上是否存在一点P，使得△APD周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设直线AC解析式y＝kx+b，

把C（2，0），D（0，1）代入y＝kx+b中，得，

解得，

∴直线AC解析式．

（2）联立，解得．

∴A（﹣2，2），

把y＝0代入y＝x+4中，得x＝﹣4，

∴B（﹣4，0），

∵C（2，0），

∴BC＝6，

∴S△ABC＝＝＝6，S△DBC＝＝＝3，

∴S△ABD＝S△ABC﹣S△DBC＝6﹣3＝3．

（3）作D、E关于x轴对称，

∴PD＝PE，

∵△APD周长＝AP+PD+AD，

∵AD是定值，

∴AP+PD最小时，△APD周长最小，

∵AP+PD＝AP+PE≥AE，

∴A、P、B共线时，AP+PE最小，即AP+PD最小，

连接AE交x轴于点P，点P即所求，

∵D（0，1），D、E关于x轴对称，

∴E（0，﹣1），

设直线AE解析式y＝mx+n，

把A（﹣2，2），E（0，﹣1）代入y＝mx+n中，，解得，

∴，

令y＝0得，解得，

∴，即存在点P使△APD周长最小．

22．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B牌的口罩共需480元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需370元．

（1）求这两种品牌口罩的单价．

（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优恵销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售，设购买x盒A品牌的口罩需要的y1元，购买x盒B品牌的口罩需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式．

（3）当需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？

【解答】解：（1）设A品牌口罩的单价为x元，B品牌口罩的单价为y元，

依题意得：，

解得；

（2）由题意得y1＝90×80%⋅x＝72x，

当0≤x≤5时，y2＝100x；

当x＞5时，y2＝100×5+100×0.7（x﹣5）＝70x+150；

∴；

（3）买A品牌更合算．

当x＝50时，y1＝72×50＝3600（元），

y2＝70×50+150＝3650（元），

3600＜3650，

∴买A品牌更合算．

23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．

（1）求正比例函数与一次函数的关系式．

（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．

（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：

，解得，

∴一次函数关系式为y＝x+2，

C（3，4）代入y＝k2x得：

4＝3k2，解得k2＝，

∴正比例函数关系式为y＝x；

（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：

由y＝x+2可得B（0，2），

∴OB＝2，

∵A（﹣3，0），

∴OA＝3，

∴AB＝＝，

∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，

∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，

而∠DEA＝∠AOB＝90°，

∴△ADE≌△BAO（AAS），

∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，

∴OE＝OA+AE＝5，

∴D（﹣5，3），

②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：

同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，

∴OE＝5，

∴D（﹣2，5），

综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；

（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：

设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），

∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，

①当OP＝OC时，|m|＝5，

∴m＝±5，

∴P（0，5）或（0，﹣5），

②当CP＝OC时，＝5，

∴m＝8或m＝0（舍），

∴P（0，8），

③当CP＝OP时，＝|m|，

∴m＝，

∴P（0，），

综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．