高一数学期末复习：解三角形

一、知识梳理

1正弦定理： == =2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以下变形：

最常用三角形面积公式： 

2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解）

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）

了解：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

⑴若A为锐角时: 

⑵若A为直角或钝角时: 

3．余弦定理 ： 

4．余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）

5．掌握用解三角形的知识解决测量、航海、几何、物理学等方面的简单应用问题

解三角形问题一般解题思想：一般来讲，无论是应用性问题，还是纯数学问题，如果涉及到一个三角形中的边角关系的计算与证明，常应联想到正弦定理和余弦定理。

二．典型例题

例1.在中，已知，，，求及c．

解：（法一）由正弦定理得：，

∵，即，    ∴或，

当时，，

当时，．

（法二）：设，由余弦定理，

将已知条件代入，整理得：，解之得：；

当时， 

当时，cosA=

变式:在△ABC中，已知，，则的值为         .

解:∵，∴或，

∵，∴，从而A为锐角，（∵，∴A+B＞π应舍去），于是，∴ 

         a=14,b=10,c=6   S=15

例4：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间 

解：设辑私船应沿CD方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D点)走私船，

则CD＝10ｔ海里，BD＝10ｔ海里 

∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA

＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6,  ∴BC＝

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， 

∴∠CBD＝90°＋30°＝120° 

∴∠BCD＝30°,∴∠DCE＝90°－30°＝60° 

由∠CBD＝120°，∠BCD＝30° 得∠D＝30° 

∴BD＝BC，即10ｔ＝

∴ｔ＝(小时)≈15(分钟) 

例5.（05全国）中，内角A，B，C的对边分别为，已知成等比数列，

 且。

（）求的值；

（）设，求的值。

解：（）由得，由得于是

。

（）由，得，由，得，即。

又。得，，得。

三．课后作业：

1. 

答案：B

2.设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是        （ A  ）

    A．a≥3            B．a＞－1            C．－1＜a≤3        D．a＞0

3.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（     ）

A．    5000米        B．5000    米    C．4000米        D． 米

4.已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为 （   B   ）

A．            B．        C．            D． 

5.在△ABC中，a=x，b=2，∠B=45°.若解此三角形可得两解，则x的取值范围是__________

6.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状.

解法1：由正弦定理： 

∴2A = 2B 或 2A = 180  2B  即：A= B 或 A + B = 90∴△ABC为等腰或直角三角形

解法2：由题设： 

化简：b2(a2 + c2  b2) = a2(b2 + c2  a2)  ∴(a2 b2)(a2 + b2  c2)=0

∴a = b或 a2 + b2 = c2   ∴△ABC为等腰或直角三角形．

7.

（2）A=600   C=750

8.在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。

解：  

        又是方程的一个根   

        由余弦定理可得： 

        则： 

        当时，c最小且  此时

        △ABC周长的最小值为

9在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 

解：在△ADC中，

cosC＝

又0＜C＜180°，∴sinC＝

在△ABC中， 

∴AB＝

10.在中，..的对边分别为..。若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。

解析  (1) ∵,   

当且仅当时取等号,∵f(B)=sinB+cosB=

∵∴的值域为

11.若钝角的三边长为2，，x，求x的取值范围

解：当0当x时，即

又