椭圆周长和面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

（一）发现椭圆常数

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：4a椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T      （2）

T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

4a<(2πa-4a)T<2πa      （3）

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：

4a/(2πa-4a) 简化表达式（4）：

2/(π-2)定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2) 

计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：

K1＝1.75193839388411……       K2＝2.75193839388411……

椭圆第二常数：K2=K1+1

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a 。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0K1+f定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：

L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f) 

=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b) 

椭圆周长计算公式： L=2πb+4(a-b) 

（三）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：0（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。如：上式中πa2为π乘a的二次方。）

椭圆面积猜想：S=πa2T      （6）

T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得：

0<πa2T<πa2      （7）

根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0S=πa2T=πa2(K+f)      （8）

在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：

S=πa2b/a=πab

椭圆面积计算公式：S=πab

关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题

易亚苏

《椭圆定理》一文中有：“定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。

（一）

在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：T=K1+f”（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:2/(π-2)定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)。这样定义理当无可非议。

那么，K1b>0）（参见《椭圆定理》）。因为0由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即0注：椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。

其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。

（二）

研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数：

K1＝1.75193839388411……       

K2＝2.75193839388411……

这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>b>0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。

（三）

笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、对结论进行检验。《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。笔者认为论文不在长短，而在其价值。当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来？从发现来。对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。

（四）

椭圆周长无疑在4ab>0）。如果引用椭圆单位，则4在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)进行序列的直观检验。椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

（五）

当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。

任一部分椭圆面积

椭圆周长

（一）椭圆周长计算公式 

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 

（二）椭圆面积计算公式 

椭圆面积公式： S=πab 

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

近似L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN) ( M=4/√15-1 、N=((a-b)/a)^9 ) 近似 L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN) ( Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、M=((a-b)/a)^33.697 、) 

标准 L＝Qπ(1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…) (h＝(a-b)/(a+b)， Q＝a+b，)

 圆柱体:  

表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)  

圆锥体:  

表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 

2平面图形 

名称 符号 周长C和面积S 

正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 

长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 

三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 

s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA) 

四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 

平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα 

菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα 

梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh 

圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 

扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 

弓形 l－弧长 S＝r2/2·(πα/180-sinα) 

 b－弦长 ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 

 h－矢高 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 

 r－半径 ＝r(l-b)/2 + bh/2 

 α－圆心角的度数 ≈2bh/3 

圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2) 

 r－内圆半径 ＝π(D2-d2)/4 

 D－外圆直径 

 d－内圆直径  

椭圆 D－长轴 S＝πDd/4 

 d－短轴 

3 补充版  

 平面图形  

名称 符号  

周长C和面积S  

正方形 a—边长 C＝4a  

S＝a^2  

长方形  

a和b－边长 C＝2(a+b)  

S＝ab  

三角形  

a,b,c－三边长  

h－a边上的高  

s－周长的一半  

A,B,C－内角  

其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2  

 ＝ab/2·sinC  

 ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2  

 ＝a^2sinBsinC/(2sinA)  

四边形  

d,D－对角线长  

α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα  

平行四边形  

 a,b－边长  

h－a边的高  

α－两边夹角 S＝ah  

 ＝absinα  

菱形  

 a－边长  

α－夹角  

D－长对角线长  

d－短对角线长 S＝Dd/2  

 ＝a^2sinα  

梯形  

 a和b－上、下底长  

h－高  

m－中位线长 S＝(a+b)h/2  

 ＝mh  

圆  

 r－半径  

d－直径 C＝πd＝2πr  

S＝πr^2  

 ＝πd^2/4  

扇形  

r—扇形半径  

a—圆心角度数  

 C＝2r＋2πr×(a/360)  

S＝πr^2×(a/360)  

弓形  

 l－弧长  

b－弦长  

h－矢高  

r－半径  

α－圆心角的度数 S＝r^2/2·(πα/180-sinα)  

 ＝r^2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h^2)1/2  

 ＝παr^2/360 - b/2·[r^2-(b/2)^2]1/2  

 ＝r(l-b)/2 + bh/2  

 ≈2bh/3  

圆环  

R－外圆半径  

r－内圆半径  

D－外圆直径  

d－内圆直径 S＝π(R^2-r^2)  

 ＝π(D^2-d^2)/4  

椭圆  

D－长轴  

d－短轴 S＝πDd/4  

立方图形  

名称 符号  

面积S和体积V  

正方体 a－边长 S＝6a^2  

V＝a^3  

长方体  

 a－长  

b－宽  

c－高 S＝2(ab+ac+bc)  

V＝abc  

棱柱  

S－底面积  

h－高 V＝Sh  

棱锥  

S－底面积  

h－高 V＝Sh/3  

棱台  

S1和S2－上、下底面积  

h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3  

拟柱体  

 S1－上底面积  

S2－下底面积  

S0－中截面积  

h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6  

圆柱  

r－底半径  

h－高  

C—底面周长  

S底—底面积  

S侧—侧面积  

S表—表面积 C＝2πr  

S底＝πr^2  

S侧＝Ch  

S表＝Ch+2S底  

V＝S底h  

 ＝πr^2h  

空心圆柱  

 R－外圆半径  

r－内圆半径  

h－高 V＝πh(R^2-r^2)  

直圆锥  

 r－底半径  

h－高 V＝πr^2h/3  

圆台  

r－上底半径  

R－下底半径  

h－高 V＝πh(R^2＋Rr＋r^2)/3  

球  

 r－半径  

d－直径 V＝4/3πr^3＝πd^3/6  

球缺  

h－球缺高  

r－球半径  

a－球缺底半径 V＝πh(3a^2+h^2)/6  

 ＝πh^2(3r-h)/3  

a2＝h(2r-h)  

球台  

r1和r2－球台上、下底半径  

h－高 V＝πh[3(r1^2＋r2^2)+h^2]/6  

圆环体  

R－环体半径  

D－环体直径  

r－环体截面半径  

d－环体截面直径 V＝2π2Rr^2  

 ＝π2Dd^2/4  

桶状体  

D－桶腹直径  

d－桶底直径  

h－桶高 V＝πh(2D^2＋d^2)/12  

(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)  

V＝πh(2D^2＋Dd＋3d^2/4)/15  

(母线是抛物线形)参考资料：http://enze2233.blog.163.com/blog/static/670839622009226312121/ 

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