2021-2022学年北京市西城区高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知集合，，那么（       ）

A． ． ． ．

【答案】C

【分析】解不等式，直接求并集.

【详解】由已知得，

所以，

故选：C.

2．方程组的解集是（       ）

A． ．

C． ．

【答案】A

【分析】解出方程组，写成集合形式.

【详解】由可得：或.

所以方程组的解集是.

故选：A

3．函数的定义域是（       ）

A． ．

C． ．

【答案】B

【分析】解不等式组即可得定义域.

【详解】由得：

所以函数的定义域是.

故选：B

4．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（       ）

A．0.38 ．0.61

C．0.122 ．0.75

【答案】B

【分析】利用频率组距，即可得解.

【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率

故选：B

5．若，，则一定有（       ）

A． ． ． ．以上答案都不对

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断，

【详解】对于AB，若，则，所以AB错误，

对于C，若，则，所以C错误，

故选：D

6．已知向量，，那么（       ）

A．5 ． ．8 ．

【答案】B

【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以

.

故选：B.

7．若，则（       ）

A． ．a    C．2a    D．4a

【答案】A

【分析】利用对数的运算可求解.

【详解】，

故选：A

8．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（       ）

A．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

C．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.

【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；

必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.

故选：A.

9．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（       ）

A． ． ． ．

【答案】D

【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.

【详解】为上的奇函数，

且在上单调递增，，

得：或

解得.

故选：D

10．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（       ）

A． ．

C． ．

【答案】D

【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.

【详解】因为点C为的中点，，所以，

所以

，

因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，

所以的取值范围是,

故选：D.

二、填空题

11．命题“，”的否定是______．

【答案】

【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；

【详解】命题“，”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，

故其否定为“”

故答案为：

12．茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是______．

【答案】

【分析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a，b的大小关系.

【详解】易知甲的平均分为，

乙的平均分为，所以.

故答案为：.

13．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）

【答案】

【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.

【详解】由正六边形的性质知：，

∴.

故答案为：.

14．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．

对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：

①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；

②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：

③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；

④函数不是“T—单调增函数”．

其中，所有正确的结论序号是______．

【答案】②③④

【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.

【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；

②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；

③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；

④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.

故答案为：②③④

三、双空题

15．若不等式的解集为，则______，______．

【答案】          

【分析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.

【详解】由题设，是的根，

∴，即，.

故答案为：，.

四、解答题

16．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互的．

(1)求丙答题正确的概率；

(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互事件概率公式，即可求解；

（2）由相互事件概率乘法公式，即可求解.

(1)

记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，

设丙答对题的概率，乙答对题的概率，

由于每人回答问题正确与否是相互的，因此是相互事件.

根据相互事件同时发生的概率公式，得，解得，

所以丙对这道题的概率为

(2)

甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为

17．设，其中．

(1)当时，求函数的图像与直线交点的坐标；

(2)若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；

(3)若函数在上不具有单调性，求a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）联立方程直接计算；

（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；

（3）根据二次函数单调性可得参数范围.

(1)

当时，，

联立方程，解得：或，

即交点坐标为和.

(2)

由有两个不相等的正数零点，

得方程有两个不等的正实根，，

即，解得；

(3)

函数在上单调递增，在上单调递减；

又函数在上不具有单调性，

所以，即.

18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：

(2)设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求的概率；

(3)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）

【答案】(1)5

(2)

(3)6，7，8

【分析】（1）由题意得，又，即可求得x的最小值；

（2）利用列举法能求出古典概型的概率；

（3）由题设条件能求出的可能的取值为.

(1)

由题意得，即.

又根据题意知，，

所以x的最小值此为5.

(2)

设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，

记甲的4局比赛为，各局的得分分别是；乙的4局比赛为，各局的得分分别是.

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.

而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，

∴事件的概率.

(3)

的所有可能取值为6，7，8.

19．已知函数．

(1)若，求a的值；

(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若对于恒成立，求实数m的范围．

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； 

（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.

(1)

，，即，解得， 

所以a的值为

(2)

为奇函数，证明如下：

由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，

又，

所以为奇函数；

(3)

因为，

又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，

由复合函数的单调性知函数在上为增函数，

所以，

又对于恒成立，所以，所以，

所以实数的范围是

20．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．

(1)该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？

(2)若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

【答案】(1)该渔船捕捞3年开始盈利；

(2)万元.

【分析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.

（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.

(1)

由题意，渔船捕捞的利润，解得，

又，，故，

∴该渔船捕捞3年开始盈利.

(2)

由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，

∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.

21．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．

(1)当时，写出集合A的生成集B；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

【答案】(1)

(2)7

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解； 

（3）不存在，理由反证法说明.

(1)

，

(2)

设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数大于等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

(3)

不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.