函数的性质习题课

课时目标　1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能力．

1．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则(　　)

A．k>          B．k<          C．k>－          D．k<－

2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　)

A．函数f(x)先增后减

B．函数f(x)先减后增

C．f(x)在R上是增函数

D．f(x)在R上是减函数

3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且a＋b>0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)

B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)

C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)

D．f(a)＋f(b)4．函数f(x)的图象如图所示，则最大、最小值分别为(　　)

A．f()，f(－)

B．f(0)，f()

C．f(0)，f(－)

D．f(0)，f(3)

5．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

6．已知f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是______________．

一、选择题

1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)A．x1＋x2<0                              B．x1＋x2>0

C．f(－x1)>f(－x2)                          D．f(－x1)·f(－x2)<0

2．下列判断：

①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；

②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；

③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；

④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．

其中正确的序号为(　　)

A．②③④        B．①③          C．②            D．④

3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数f(x)＝为(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为(　　)

A．－2          B．2             C．－1           D．1

5．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)

A．增函数且最小值为3            B．增函数且最大值为3

C．减函数且最小值为－3          D．减函数且最大值为－3

6．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是(　　)

A．(－1,0)                       B．(－∞，0)∪(1,2)

C．(1,2)                         D．(0,2)

7．若函数f(x)＝－为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．

8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.

9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.

(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；

(2)解关于x的不等式f(x)<0.

11．已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)．

(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；

(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：

①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

能力提升

12．设函数f(x)＝1－，x∈[0，＋∞)

(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；

(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？

13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.

(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；

(2)求y的最大值，并指出相应的x值．

1．函数单调性的判定方法

(1)定义法．

(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，，f(x)＋g(x)的单调性等．

(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．

2．二次函数在闭区间上的最值

对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：

(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；

(2)若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，

ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．

3．函数奇偶性与单调性的差异．

函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．

§1.3　习题课

双基演练

1．D　[由已知，令2k＋1<0，解得k<－.]

2．C　[由>0，知f(a)－f(b)与a－b同号，

由增函数的定义知选C.]

3．C　[∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.

由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．

两式相加得C正确．]

4．C　[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；

当x＝－时，f(x)取得最小值．故选C.]

5.　0

解析　偶函数定义域关于原点对称，

∴a－1＋2a＝0.∴a＝.

∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.

又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.

6．(－∞，－1)

解析　若a≥0，则a－1>a，解得a<－2，∴a∈∅；

若a<0，则>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.

综上，a∈(－∞，－1)．

作业设计

1．B　[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)0.故选B.]

2．C　[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．

判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.

判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．

判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．

综上可知，选C.]

3．A　[f(x)＝，f(－x)＝－f(x)，选A.]

4．D　[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)

对称轴为x＝－，则＝，∴t＝1.]

5．D　[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，

∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.

从而f(x)≤－3，

又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，

故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]

6．D　[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，

即|x－1|<1，解得07．1

解析　f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，

所以f(0)＝0，故a＝0.

又f(－1)＝－f(1)，所以－＝，

故b＝0，于是f(x)＝－x.

函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，

当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.

8．－1

解析　∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，

且f(2)＝22－3＝1.

∴f(－2)＝－f(2)＝－1，

∴f(－2)＋f(0)＝－1.

9．a>－3

解析　∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，

∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，

要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，

即3＋a>0，∴a>－3.

10．(1)证明　设x1－x2>0.

∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(－x1)>f(－x2)．

∵f(x)是奇函数，

∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，

∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．

(2)解　若x>0，则f(x)若x<0，则f(x)∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．

11．(1)证明　设00，x1－x2<0.

又b>1，且0∵f(x1)－f(x2)＝>0，

∴f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．

(2)解　设0则f(x1)－f(x2)＝

由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1.

设1x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.

故a＝1.

12．(1)证明　设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)＝.

由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)在定义域上是增函数．

(2)解　g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝，

g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．

13．解　(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，

连结OD.

由圆的性质，H是中点，设OH＝h，

h＝＝.

又在直角△AND中，AD＝

＝＝＝2，

所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4，其定义域是(0,2)．

(2)令t＝，则t∈(0，)，且x＝2－t2，

所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，

当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.