新高考数学数列经典题型专题提升-第10讲 数列求和并项求和法(解析版)

参与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2021春•吉安县期中）数列满足，则前40项和为　　A ．940

B ．820

C ．1830

D ．1880

【解答】解：由，可得为奇数时，；为偶数时，．

设，则，，所以前40项和为．故选：．

2．（2021秋•麒麟区校级月考）已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则　　A ．2021

B ．2021

C ．2018

D ．2021

【解答】解：由数列的前项和为，当时，；

当时，上式对时也成立，函数的周期，．故选：．

3．（2021•未央区校级模拟）数列满足，若，且数列的前项和为，则　　{}n a 1(1)21n n n a a n ++-=-{}n a ()1(1)21n n n a a n ++-=-n 121n n a a n +-=-n 121n n a a n ++=-1a t =21a t =+32a t =-47a t =-5a t =69a t =+72a t =-815a t =-...{}n a 1234567837383940()()...()a a a a a a a a a a a a ++++++++++++1

1022...15410(10154)8202

=++++=

⨯⨯+=B {}n a n 2n S n n =-{}n b 1

sin 2

n n n b a π+={}n b n n T 2017(T =){}n a n 2n S n n =-1n =11110a S ==-=2n …221[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=-1n =22n a n ∴=-∴cos

2(1)cos

22

n n n n b a n ππ

==- cos

2

n y π

=242

T ππ==2017152013262143720154820162017

()()()()T b b b b b b b b b b b b b ∴=++⋯++++⋯++++⋯++++⋯++201702(152013)02(372015)4032cos

450420162

π

=-++⋯+++++⋯++=⨯=A {}n a 11a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++2cos 3

n n n b a π

={}n b n n S 11(S =)

B ．80

C ．

D ．【解答】解：数列满足，则

，可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，

即有

，即为，则，则．

故选：．

4．（2021秋•南昌月考）已知数列满足，则的前20项和　　A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：数列满足，

则的前20项和．

故选：．

5．（2021秋•内蒙古期末）已知数列是首项为，公比的等比数列，且．若数列的前项和为，则　　A ．B ．C ．D ．【解答】解：数列是首项为，公比的等比数列，可得，

，

-80

-{}n a 11a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n n

a a n n

+=++{}n a

n

n

a n n

=2n a n =222cos

cos

33

n n n n b a n ππ

==22222222222111

(1245781011)(369)

2S =-++++++++++222222222222221

(12334566791011)

2=-+--++---+--++1

(5234159)2

=-⨯+++=-C {}n a *22()n n n a a n N ++=∈{}n a 20(S =)

20215-20225-21215-21225

-{}n a *22()n n n a a n N ++=∈{}n a 2013192420()()

S a a a a a a =++⋯++++⋯+5172618(222)(222)=++⋯++++⋯+45245442[(2)1]2[(2)1]2121--=+

--21225-=D {}n a 12a =2q =1n n n b a a +=+{}n b n n S (n S =)323

n -g 1323

n +-g 32n

g 1326

n +-g {}n a 12a =2q =112232n n n n n n b a a ++=+=+=g 6(12)62612

n n n S -==--g

故选：．

6．（2021春•万载县校级期末）若数列的通项公式是，则等于　　A ．60B ．C ．90D ．【解答】解：由，

可得．

故选：．

7．（2021春•成都期末）已知数列满足，为的前项和，则　　A ．300

B ．320

C ．340

D ．360

【解答】解：因为，所以当为偶数时，有，

；，．

当为奇数时，有，

，，．

故选：．

二．解答题（共10小题）

8．（2021•山东）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记，求．

【解答】解：（Ⅰ）是与的等比中项，

D {}n a (1)(32)n n a n =--1260a a a ++⋅⋅⋅+()

60-90

-(1)(32)n n a n =--1260(14)(710)(1316)...(175178)a a a ++⋅⋅⋅+=-++-++-+++-+33...333090=+++=⨯=C {}n a 1(1)31n n n a a n ++-=+n S {}n a n 20(S =)1(1)31n n n a a n ++-=+n 131n n a a n ++=+2134n n a a n ++∴-=+265n n a a n +∴+=+2462517a a ∴+=⨯+=6866541a a +=⨯+=⋯182********a a +=⨯+=∴24205(17113)

3252

a a a ⨯++++=

= n 131n n a a n +-=+2134n n a a n ++∴+=+23n n a a +∴+=133a a ∴+=573a a +=⋯17193a a +=13195315a a a ∴+++=⨯= 2012320

S a a a a ∴=++++ 13192420()()a a a a a a =+++++++ 32515340=+=C {}n a 2d =2a 1a 4a {}n a (1)2

n n n b a +=1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-⋯+-n T 2a 1a 4a

在等差数列中，公差，

，即，

化为，解得．

．

（Ⅱ），

．当时，．当时，

．

故．（也可以利用“错位相减法” 9．（2021•天津）已知是等比数列，前项和为，且，．（1）求的通项公式；

（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和．【解答】解：（1）设的公比为，则，即，解得或．

若，则，与矛盾，不符合题意．，．

2

14 {}n a 2d =∴2111()(3)a d a a d +=+2111(2)(32)a a a +=+⨯2122a =12a =1(1)2(1)22n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=(1)2

(1)n n n b a n n +==+ 1234(1)1(11)2(21)(1)(1)n n n n T b b b b b n n ∴=-+-+-⋯+-=-⨯++⨯+-⋯+-+g *2()n k k N =∈2212(21)(21)(211)4k k b b k k k k k --=+---+=2143221()()()

n k k T b b b b b b -=-+-+⋯+-(1)(2)

4(12)42(1)22

k k n n k k k ++=++⋯+=⨯

=+=

*21()n k k N =-∈2143222321

()()()n k k k T b b b b b b b ---=-+-+⋯+--(1)(1)

(1)

2

n n n n -+=

-+2(1)2

n +=-2

(2)

,2(*)2

(1),21(*)2n n n n k k N T n n k k N +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩)

{}n a n *()n S n N ∈123

112

a a a -=663S ={}n a *n N ∈n

b 2log n a 21log n a +2

{(1)}n n

b -2n {}n a q 2111112a a q a q -=2

12

1q q -=2q =1q =-1q =-60S =663S =2q ∴=616(12)

6312

a S -∴==-11a ∴=

（2）是和的等差中项，．．是以

为首项，以1为公差的等差数列．设的前项和为，则．

10．（2021秋•东丽区校级月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）数列满足为非零整数），都有恒成立，求实数的值．【解答】解：（Ⅰ）当时，得或，（舍，

当时，．

则，

即，

即数列是公差为1的等差数列，则，．（Ⅱ）当是奇数时，当是偶数时，则数列的前项和．n n b 2log n a 21log n a +221211

(log log )(log 222

n n n b a a +∴=

+=1

2log 2n -+1

)2

n n =-

11n n b b +∴-={}n b ∴1

2

2

{(1)}n n

b -2n n T 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n

b b b b b b -=+++⋯++1211

22

22222

n n b b n n +-+==g 22n ={}n a n n S 2

2n

n n a S a =-2n n b ={}n c 2

2

sin cos 22

n n n n n c a b ππ

=⋅-⋅{}n c 2n 2n T {}n d 1*3(1)2()(n a n n n d n N λλ-=+-⋅∈1n n d d +>λ1n =211112a a a a =-=11a =10a =)2n (2)

1112n n n a S a +++=-22111122n n n n n n n n a a S a S a a a ++++-=--+=+111()()n n n n n n a a a a a a ++++-=+0n a > 11n n a a +∴-={}n a 11n a n n =+-=*n N ∈n 2

2sin cos 22

n n n n n n c a b a n ππ

=⋅-⋅==n 2n n n c b =-=-{}n c 2n 21221211

(121)4(41)14

424133n n

n

n n i i i i n n T c c n +-==+--=+=

-=-⋅+-∑∑

（Ⅲ），恒成立，

当是奇数时，得，得，从而，

当是偶数时，得，得，从而，

为非零整数，．

11．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，．

（Ⅰ）求与的通项公式；

（Ⅱ）设，求．

【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，递增的等差数列的公差为，由，可得，解得，（舍去）或，所以，；（Ⅱ）当时，2，

设；当时，

设，

所以．12．（2021春•武清区校级期末）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足

，数列的前项和，且．（1）求数列和的通项公式；

11111113(1)23(1)23(1)23(1)2233(2)n n a a n n n n n n n n n n n n n n d d λλλλλ++-++-+-=+-⋅---⋅=+-⋅---⋅=⨯+-1n n d d +> ∴n 233(2)0n n λ⨯+->23320n n λ⨯->13

(2n λ-<1λ23320n n λ⨯+>13()2n λ->-3

2λ>-λ 1λ∴=-{}n a {}n b {}n b n (*)n S n N ∈12a =11b =413S a a =+213a b b =+{}n a {}n b 2(1),2(1)(24),21

(1)(3)k k k n n n

n b n k

d b n k b b ⎧-=⎪

=-+⎨=-⎪++⎩k N +∈41n

i i d =∑{}n a q {}n b (0)d d >12a =11b =413S a a =+213a b b =+24622d q +=+2112q d =++1q =0d =2q =1d =2n n a =n b n =2()n k k N +=∈22(1)k n k d d k ==-1k =...2n 222222244...(12)(34)...[(21)(2)]1234...(21)2n A d d d n n n n =+++=-++-+++--+=+++++-+22(12)

22

n n n n +=

=+21()n k k N +=-∈2121

2121(1)(24)(1)(42)(1)(3)2(22)

k k k n k k k b k d d b b k k -----+-+===+++121111

(1)(1)()2(1)21

k k k k k k k +=-⋅⋅=⋅-+++134111111111

...(1...)(1)2223221221

n B d d d n n n -=+++=--++-++=-++421

11

2422

n

i i d A B n n n ==+=++

-+∑{}n a 52a 4a a 2434a a ={}n b n (1)

2

n n n S b +=

*n N ∈11b ={}n a {}n b

（2）设，数列的前项和为，求证：；（3）设，求的前项和．

【解答】解：（1）设等比数列的公比为，成等差数列，且满足，

，

解得：，．．

数列的前项和，且．时，化为：

，可得．（2）证明：，数列的前项和为，单调递增，

，．（3）设，

设数列的前项和为，

22

12

23n n n n b c b b +++=

*n N ∈{}n c n n A 51

3n A <…2(1)[(1)(1)]n n n n n d b a b =-+++{}n d n n T {}n a 0q >52a 4a a 2

434a a =2444224a a q a q ∴=+22333144a q a a a q ==12q =

11

2

a =1

()2

n n a ∴={}n b n (1)

2n n n S b +=

*n N ∈11b =2n ∴…11(1)22

n n n n n n n

b S S b b --+=-=

-1211121

n n b b b b

n n -==⋯===-n b n =222222

12

232311

(1)(2)(1)(2)n n n n n c b b n n n n ++++=

==-⋅++++∴{}n c n 2222222

11111111

2334(1)(2)4(2)n A n n n =

-+-+⋯+-=-

+++n A 11

4

n A A ∴<

…∴

513

n A < (221)

(1)[(1)(1)](1)((1)(1)()2n n n n n n n d b a b n n =-+++=-+++⨯-1

{(1)()}2

n n +⨯-n n H

则，

，．

时

，

，的前项和

．时

，

，的

前项和

．

为偶数时，数列的前项和．为奇数时，数列的前项和．13．（2021春•温州期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，．（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【解答】解：（1）由题意得，解得，数列的通项公式为．

（2），当为奇数时

，

；23111111

2()3()4(()(1)()22222n n n H n n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-++⨯-2341111111

2()3()4()()(1)()222222

n n n H n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-++⨯-∴2341

111

[1()]311111112

21(()()()(1)()(1)(1222222

221()2

n n n n n H n n ++---=-+-+-+-+⋯+--+⨯-=-+-+⨯---5351()992n n n H +∴=-+⨯-2n k =*k N ∈2{(1)((1)}n n -+n 222222(21)(3)

3254(1)23122

n n n n n B n n n n +++=-+-++-=++⋯+++=

=

21n k =-*k N ∈2{(1)((1)}n n -+n 22

2

1(1)(4)34(2)(2)22

n n n n n n B B n n +++++=-+=-+=-n ∴{}n d n (3)5351

(2992

n n n n n T ++=

-+⨯-n {}n d n 2345351

()2992

n n n n n T +++=-

-+⨯-{}n a n n S d 11a =39S ={}n a 2

(1)n n n b a =-⋅{}n b n n T 3133339S a d d =+=+=2d ={}n a 12(1)21n a n n =+-=-22

2

2

(21),(1)(1)(21)(21),n

n

n n

n n n b a b n n n ⎧--=-⋅==--=⎨-⎩

为奇数为偶数n 222222222(1)(123)

13579(23)(21)2(135723)(21)2(21)212

n n n T n n n n n n -+-=-+-+-+⋯+---=++++⋯+---=⨯

--=-+

当为偶数时

，

，所以．

14．（2021•福建模拟）记为等比数列的前项和，已知，．（1）求；

（2）求数列的前项和．

【解答】解：（1）当时，由可得，两式相减，可得，即，依题意，为等比数列，故．令，则由可得，即；

（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；

故为首项等于，公比等于的等比数列，故，

故数列的前项和．

15．（2021•天心区校级一模）已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，

所以数列的通项公式为；（2）因为，

n 2222222(121)

13579(23)(21)2(13572321)222

n n n T n n n n n +-=-+-+-+⋯--+-=++++⋯+-+-=⨯

=2221,2,n n n T n n ⎧-+=⎨⎩

为奇数

为偶数n S {}n a n 11a =1n n S a t +=+t {(cos )}n n a π⋅n 2n …1n n S a t +=+1n n S a t -=+1n n n a a a +=-12n n a a +={}n a 22a =1n =1n n S a t +=+12S a t =+12121t S a a a =-=-=-{}n a 12n n a -={(cos )}n n a π⋅1-2-1(1)(2)n n a -=-⋅-{(cos )}n n a π⋅n 1(2)11

(2)1(2)33

n n n T -+-==⨯----{}n a n n S 38a =572S a ={}n a {}n b 1cos 2n n n b a n π+=+{}n b 2n 2n T {}n a d 11128

54

52(6)2

a d a d a d +=⎧⎪

⎨⨯+=+⎪⎩12a =3d ={}n a *23(1)31,n a n n n N =+-=-∈11cos 2(1)2n n n n n n b a n a π++=+=-+

所以．

16．（2021秋•运城期中）已知正项数列的前项和为，满足，

．

（1）求数列的通项公式；（2）设

，求数列的前项和的表达式．【解答】解：（1）正项数列的前项和为，满足，所以，

整理得：，由于数列为正项数列，

（常数），

所以

是以1为首项，1为公差的等差数列，

，故，

所以（首项符合通项）．由于

，

当为奇数时，为偶数时，所以，

所以．17．（2021秋•郸城县校级月考）已知为数列前项和，．（Ⅰ）求和；

（Ⅱ）若，求的值．

23122143221()()()(222)

n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+22222(12)332412

n n n n +-=+=+--{}n a n n S 2,*)n a n n N =∈…11a ={}n a 1

cos n n n n

b n a a π+=g

{}n b 2n 2n T {}n a n n S 2,*)n a n n N =+∈…1n n S S --=1)0-=1=11n n =+-=2n S n =121n n n a S S n -=-=-11111

(22121

n n a a n n +=--+111

cos cos [()]22121

n n n n n b n n a a n n ππ+==--+g n cos 1n π=-n cos 1n π=111(1)23b =--2211()235b =-3311

()257

b =--⋯21232121112121313141412111211((223232525272729243412414141

n

n n n n n T

b b b b b n n n n n --=+++⋯++=-+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+⋯+-+-=-

---++n S {}n a n (2sin )(2cos )2

n n a n n π

π+=+4k a 41()k a k Z -∈24n S an bn =+a b -

【解答】（Ⅰ）解：由已知：．，

又，

．

（Ⅱ）又由已知：，

得：，得：．

所以，

解得：，．(2sin

)(2cos )2

n n a n n π

π+=+4(2sin 2)4(2cos 4)()k a k k k k Z ππ∴+=+∈46()k a k k Z ∴=∈41[2sin(2)](41)[2cos(41)]2k a k k k π

ππ-+-=-+-4141k a k -∴=-42[2sin(2)](42)[2cos(42)]k a k k k πππ-+-=-+-4263k a k -=-433[2sin(2)](43)[2cos(43)]2k a k k k πππ-+-=-+-43413

k k

a -=-41234812813363

15423369712

33S a b a a a a S a b a a a ⎧

=+=+++=+++⎪⎪⎨⎪=+=++⋯+=+++++++⎪⎩

263a =

11

3

b =5a b ∴-=