等比数列基础练习题 百度文库

1．在数列中，，对任意的，，若，则（    ）

A．3 ．4 ．5 ．6

2．在等比数列中，，，则（    ）

A． ． ． ．

3．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝（    ）

A．4 ．5 ．8 ．15

4．已知正项等比数列满足，，又为数列 的前项和，则（    ）

A． 或 ．

C． ．

5．已知是正项等比数列且，， 成等差数列，则（    ）

A． ． ． ．

6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（    ）

A．-3+(n+1)×2n ．3+(n+1)×2n

C．1+(n+1)×2n ．1+(n-1)×2n

7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第六个单音的频率为f，则（    ）

A．第四个单音的频率为 ．第三个单音的频率为

C．第五个单音的频率为 ．第八个单音的频率为

8．已知等比数列{an}中a1010＝2，若数列{bn}满足b1＝，且an＝，则b2020＝（    ）

A．22017 ．22018 ．22019 ．22020

9．已知正项等比数列的公比不为1，为其前项积，若，则（    ）

A． ． ． ．

10．已知公比大于1的等比数列满足，.则数列的前项的和为（    ）

A． ．

C． ．11．题目文件丢失！

12．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ）

A． ． ． ．

13．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）

A．2 ．4 ．8 ．16

14．在数列中，，，若，则的最小值是（    ）

A．9 ．10 ．11 ．12

15．已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（    ）.

A．7 ．8 ．9 ．10

16．已知等比数列中，，，则（    ）

A． ． ． ．

17．正项等比数列的公比是，且，则其前3项的和（    ）

A．14 ．13 ．12 ．11

18．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A． ． ． ．

19．已知等比数列中，，，，则（    ）

A．2 ．3 ．4 ．5

20．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． ．

C． ．

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（ ）

A．数列|为等差数列 ．数列为等比数列

C．若，则 ．若，则

23．已知数列的前项和为，且，（，为非零常数），则下列结论正确的是（    ）

A．是等比数列 ．当时，

C．当时， ．

24．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（    ）

A． ． ． ．

25．已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（    ）

A．25 ．26 ．27 ．28

26．数列对任意的正整数均有，若，，则的可能值为（    ）

A．1023 ．341 ．1024 ．342

27．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（   ）

A． ． ． ．

28．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）

A． ．

C．的最大值为 ．的最大值为

29．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． ． ． ．

30．已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递增数列

D．的前项和

31．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（    ）

A． ．数列是等比数列

C． ．数列是公差为2的等差数列

32．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（    ）

A．8 ．9 ．10 ．11

33．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有(    )

A．数列的前10项和为100

B．若成等比数列，则

C．若，则n的最小值为6

D．若，则的最小值为

34．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有(    )

A． ． ． ．

35．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（    ）

A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；

B．若，则其“倒差数列”有最大值；

C．若，则其“倒差数列”有最小值；

D．若，则其“倒差数列”有最大值.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题

1．C

【分析】

令，可得，可得数列为等比数列，利用等比数列前n项和公式，求解即可.

【详解】

因为对任意的，都有，

所以令，则，

因为，所以，即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，解得n=5，

故选：C

2．C

【分析】

根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出的值.

【详解】

因为，所以，所以，

所以，

故选：C.

3．C

【分析】

由等比中项，根据a3a11＝4a7求得a7，进而求得b7，再利用等差中项求解.

【详解】

∵a3a11＝4a7，

∴＝4a7，

∵a7≠0，

∴a7＝4，

∴b7＝4，

∴b5＋b9＝2b7＝8．

故选：C

4．B

【分析】

由等比中项的性质可求出，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解.

【详解】

正项等比数列中，

，

，

解得或（舍去）

又，

，

解得，

，

故选：B

5．D

【分析】

根据，， 成等差数列可得，转化为关于和的方程，求出的值，将化简即可求解.

【详解】

因为是正项等比数列且，， 成等差数列，

所以，即，所以，

解得：或（舍），

，

故选：D

6．D

【分析】

利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，

所以由题设得，

两式相除得1+q3=9，解得q=2，

进而可得a1=1，

所以an=a1qn-1=2n-1，

所以nan=n×2n-1.

设数列{nan}的前n项和为Tn，

则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，

2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，

两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，

故Tn=1+(n-1)×2n.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.

7．B

【分析】

根据题意得该单音构成公比为的等比数列，再根据等比数列通项公式依次求第三、四、五、即可得答案.

【详解】

解：根据题意得该单音构成公比为的等比数列，

因为第六个单音的频率为f，

所以第三个单音的频率为.

所以第四个单音的频率为.

所以第五个单音的频率为.

所以第八个单音的频率为

故选：B.

8．A

【分析】

根据已知条件计算的结果为，再根据等比数列下标和性质求解出的结果.

【详解】

因为，所以，

因为数列为等比数列，且，

所以

所以，又，所以，

故选：A.

【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若，

（1）当为等差数列，则有；

（2）当为等比数列，则有.

9．A

【分析】

由得，由等比数列性质得，这样可把和用表示出来后，可求得．

【详解】

是正项等比数列，，，，

所以由，得，

所以，设公比为，，

，，即，，

所以．

故选：A．

【点睛】

本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比表示出相应的项后可得结论．

10．D

【分析】

根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入可知数列为等比数列，求和即可.

【详解】

因为公比大于1的等比数列满足，，

所以，

解得，，

所以，

，

是以8为首项，为公比的等比数列，

，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.

11．无

12．C

【分析】

由等比数列性质求得，把表示为的函数，由函数单调性得取值范围．

【详解】

因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，

，易知函数在上单调递增，所以，

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得，选为参数．

13．D

【分析】

根据等差数列的性质得到，数列是等比数列，故=16.

【详解】

等差数列中,,故原式等价于解得或 

各项不为0的等差数列,故得到，

数列是等比数列，故=16.

故选：D.

14．C

【分析】

根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.

【详解】

因为，所以，即，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

则，即.

因为，所以，所以，所以.

故选：C

15．C

【分析】

根据可求出的通项公式，然后利用求和公式求出，结合不等式可求的最大值.

【详解】

相减得，，；则是首项为1，公比为的等比数列，，，则的最大值为9.

故选：C

16．B

【分析】

根据等比中项的性质可求得的值，再由可求得的值.

【详解】

在等比数列中，对任意的，，

由等比中项的性质可得，解得，

，，因此，.

故选：B.

17．B

【分析】

根据等比中项的性质求出，从而求出，最后根据公式求出；

【详解】

解：因为正项等比数列满足，由于，所以.

所以，，因为，所以.

因此.

故选：B

18．B

【分析】

设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项、使得，可得，．对，分类讨论即可得出．

【详解】

解：设正项等比数列的公比为，

满足：，

，

解得，

存在两项、使得，

，

，

，的取值分别为，，，，，

则的最小值为．

故选：B．

19．B

【分析】

本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

则，

即，

因为，所以，

则，

即，解得，

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.

20．D

【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.

【详解】

因为等比数列的前n项和为，且，，

所以，

因此.

故选：D.

二、多选题

21．无

22．ABC

【分析】

设等差数列的首项为，公差为, ，其前n项和为，结合等差数列的定义和前n项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.

【详解】

设等差数列的首项为，公差为, 

其前n项和为

选项A.  ，则（常数）

所以数列|为等差数列，故A正确.

选项B. ,则（常数），所以数列为等比数列，故B正确.

选项C.  由，得 ，解得 

所以，故C正确.

选项D. 由，则，

将以上两式相减可得： 

，又

所以，即

，所以D不正确.

故选：ABC

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出，从中解出，从而判断选项C，由前n项和公式得到，，然后得出，在代入中可判断D，属于中档题.

23．ABC

【分析】

由和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B正确；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．

【详解】

由，得.

时，，相减可得，

又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；

由A可得时，，故B正确；

由A可得等价为，可得，故C正确；

，，

则，即D不正确；

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：

由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.

24．BD

【分析】

先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比.

【详解】

数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中

数列有连续四项在集合，，18，36，中

又数列是公比为的等比数列，

在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.

或.

故选：BD

25．CD

【分析】

由题意得到数列的前项依次为 ，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解.

【详解】

由题意，数列的前项依次为 ，

利用列举法，可得当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

不满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

不满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

满足；

当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，

则数列的前25项分别为：，

可得，，所以，

满足，

所以使得成立的的可能取值为.

故选：CD.

【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

26．AB

【分析】

首先可得数列为等比数列，从而求出公比、，再根据等比数列求和公式计算可得；

【详解】

解：因为数列对任意的正整数均有，所以数列为等比数列，因为，，所以，所以，

当时，所以

当时，所以

故选：AB

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

27．AD

【分析】

主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．

【详解】

时，，数列不一定是等比数列，

时，，数列不一定是等比数列，

由等比数列的定义知和都是等比数列．

故选AD．

【点睛】

本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．

28．ABD

【分析】

先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.

【详解】

若，则与矛盾；

若，则与矛盾；

因此，所以A正确；

，因此，即B正确；

因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；

因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.

29．BC

【分析】

先求得，然后求得，进而求得，由此求得，进而判断出正确选项.

【详解】

由得，则．设等比数列的公比为，由，得，即，解得或．又因为数列单调递增，所以，所以，解得．所以，，所以.

故选：BC

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前项和，属于中档题.

30．ABD

【分析】

由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.

【详解】

因为，所以，又，

所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，故选项A 、B正确.

由的通项公式为知，为递减数列，选项C不正确.

因为，所以 的前项和

.选项D正确，

故选：ABD

【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.

31．ABC

【分析】

由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.

【详解】

∵，且公比为整数，

∴，，

∴，或（舍去）故A正确，

，∴，故C正确；

∴，故数列是等比数列，故B正确；

而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．

故选：ABC.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．

32．AB

【分析】

由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{cn}的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{cn}的前n项和Tn，验证得答案．

【详解】

由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，

2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，

其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）

＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．

当n＝9时，Tn＝1013＜2019；

当n＝10时，Tn＝2036＞2019．

∴n的取值可以是8，9．

故选：AB

【点睛】

本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数算的能力，属于中档题.

33．AB

【分析】

由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.

【详解】

由已知可得:,,

,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确; 

成等比数列,则,即,解得故B正确;

因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.

故选:AB.

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.

34．BC

【分析】

根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.

【详解】

由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.

故选：BC.

【点睛】

本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

35．ACD

【分析】

根据新定义进行判断．

【详解】

A．若数列是单增数列，则，

虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；

B．，则，易知是递增数列，无最大值，B错；

C．，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；

D．若，则，

首先函数在上是增函数，

当为偶数时，，∴，

当为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，

即，∴的奇数项中有最大值为，

∴是数列中的最大值．D正确．

故选：ACD．

【点睛】

本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．