2015年考研数学一真题(答案分开版)

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为                                           (   )

(A)             (B)           (C)             (D)  

 (2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则                                                            (   )

(A)            

(B)          

(C) 

(D) 

(3) 若级数条件收敛，则与依次为幂级数的 (   )

(A) 收敛点，收敛点             

(B) 收敛点，发散点          

(C) 发散点，收敛点

(D) 发散点，发散点

(4)  设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则                    (   )

(A)             

(B)       

(C) 

(D) 

(5) 设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为                                  (   )

(A)       

(B)    

(C) 

(D) 

(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为                                                                   (   )

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(7) 若A,B为任意两个随机事件，则                                   (   )

(A)              (B) 

(C)              (D) 

(8)设随机变量不相关，且，则(   )

(A)        (B)          (C)         (D) 

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 

(10) 

(11)若函数由方程确定，则

(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则

(13)阶行列式

(14)设二维随机变量服从正态分布，则

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.

(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.

(17)(本题满分10分)

已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.

(18)(本题满分 10 分)

（I）设函数可导，利用导数定义证明

（II）设函数可导，，写出的求导公式.

(19)(本题满分 10 分) 

    已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.

 (20) (本题满11分)

     设向量组内的一个基，，，.

（I）证明向量组为的一个基;

（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.

(21) (本题满分11 分) 

设矩阵相似于矩阵.

(I)求的值；

（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵..

 (22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为

对进行重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.

(I)求的概率分布;

(II)求           

 (23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量.

(II)求的最大似然估计量.