新教材2020_2021学年高二数学上学期期末备考金卷A卷

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知直线和互相平行，则实数等于（    ）

A．或    B．    C．    D．或

3．等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．在平面直角坐标系中，为坐标原点双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（    ）

A．    B．

C．    D．

5．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则    B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

6．若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知双曲线（，）点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知直线和直线平行，则（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（    ）

A．两圆有两条公切线

B．直线的方程为

C．线段的长为

D．圆上点，圆上点，的最大值为

11．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则椭圆方程为

12．已知数列，下列结论正确的有（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，则数列是等比数列

D．若，，则

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为______．

14．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则的最小值是________．

15．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为________．

16．已知在数列中，且，设，，

则________，数列前项和________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设数列的前项和为，在①，，成等差数列．②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答．

在公比为的等比数列中，        ．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程．

（1）经过点；

（2）与直线平行．

19．（12分）已知正三棱柱的边长均为，，分别是线段和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）已知椭圆经过，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．

21．（12分）正项数列的前项和满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．

22．（12分）已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线与椭圆相交于、两点，且在轴上存在点，使得与的取值无关，试求点的坐标．

数学（A）答案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】因为，，

所以．

2．【答案】A

【解析】∵两条直线和互相平行，

∴，解得或，

若，则与平行，满足题意；

若，则与平行，满足题意．

3．【答案】C

【解析】因为，所以，所以，

所以．

4．【答案】D

【解析】由双曲线，得，，

所以，则焦点，

双曲线的渐近线方程为，

由题意可得到渐近线的距离为，

即圆的半径为，圆心为，

则所求圆的方程为，可化为．

5．【答案】D

【解析】A．若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确；

B．若，，则与可能的位置关系有相交、平行或，所以不正确；

C．若，，则可能，所以不正确；

D．若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，

又，所以，所以有，所以正确．

6．【答案】B

【解析】因为关于的方程恰有两个实数根，

所以函数与函数的图象恰有两个交点，

即直线与半圆恰有两个交点，

如图，直线经过定点，

当直线与半圆切于时，，解得，

当直线经过点时，，

所以满足函数与函数的图象恰有两个交点的的范围为．

7．【答案】A

【解析】双曲线的一条渐近线方程为，

因为点是直线上任意一点，

又直线与直线的距离为，

即圆心到直线的距离为，

因为圆与双曲线的右支没有公共点，

所以，即，

又，所以双曲线的离心率的取值范围为．

8．【答案】C

【解析】由题意，数列的各项均为正数，，，

可得，所以数列是以首项，公差为的等差数列，

所以，可得，

又由，

前项和，

令，解得．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】AD

【解析】直线和直线平行，

直线的斜率为，直线的斜率为，

则，即，解得或，经检验成立．

10．【答案】AD

【解析】因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；

因为圆，圆，

两圆作差得，即，所以直线的方程为，故B错误；

圆的圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离，

所以，故C错误；

圆的圆心，半径为，

所以，故D正确．

11．【答案】BCD

【解析】由双曲线的方程可知，所以，故A不正确；

由双曲线的定义可知，如图，由内切圆的性质可得

，由，

所以，故的内切圆与轴相切于点，故B正确；

因为，，所以；

结合椭圆的定义可知，所以，离心率为，故C正确；

若，则，

又，所以，

即，所以，

所以，所以，

又，所以，椭圆的方程为．

12．【答案】AB

【解析】选项A．由，即，

则

，

故A正确；

选项B．由，得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，即，所以，故B正确；

选项C．由，可得当时，，

当时，得，

当时，得，

显然，所以数列不是等比数列，故C错误；

由，可得，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则，即，故D错误．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】或

【解析】由题意，两条平行直线与间的距离为，

根据两平行线间的距离公式，可得，

解得或，

即的值为或．

14．【答案】

【解析】如图，由题可知圆的圆心为，半径．

要使的长度最小，即要最小，则最小．

因为，

所以当最小时，最小因为，

所以当最小时，最小．

因为，所以，

所以，

由于，所以．

15．【答案】

【解析】设椭圆对应的参数为，，；双曲线对应的参数为，，，

由于线段的垂直平分线过，所以有．

根据双曲线和椭圆的定义有，

两式相减得到，即．

所以，

当且仅当取等号，

则的最小值为．

16．【答案】，

【解析】（1）∵，

两边同时除以，得，即，

∴数列是首项为，公差为的等差数列，

∴，即．

（2）由（1）知，，

∴，

∴．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）选①：因为，，成等差数列，所以，

所以，解得，

所以．

选②：因为，，成等差数列，所以，即，

所以，解得，

所以．

（2）因为，所以，

所以，

所以．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）联立，解得，即点，

直线的斜率为，

所以，直线的方程为，即．

（2）直线的斜率为，

因此，所求直线的方程为，即．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】证明：（1）取的中点为，连结，，

在中，为中位线，所以，，

又因为，，为的中点，

所以，，

所以为平行四边形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因为，因为为的中点，

所以到底面的距离是到底面的距离的一半，

即三棱锥的高，

又的面积为，

所以．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，解得，，

即轨迹的方程为．

（2）记，，

故可设的方程为，

由，消去，得，

所以，，

设直线与轴交于点，．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得．

由于是正项数列，所以，．

当时，，

当时，．

综上可知，数列的通项公式．

（2）证明：由于，，

所以，

．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）的焦点为，

根据条件可知椭圆的焦点在轴上，且，

∵离心率，∴，

故，

故所求的方程为．

（2）将代入，得．

设，，，

则，．

，

要使上式与无关，则有，解得，

∴点的坐标为．