高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲1

1.通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1  如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，， 

∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥． 

设正方体棱长为，则，．

 　　 在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

2.利用面面垂直寻求线面垂直

2    如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．  又∵平面PBC，∴AD⊥BC．

    ∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC．   

    ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

   （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）． 

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3  如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．

求证：，．

　　证明：∵平面ABCD，

∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

      证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

      ∵，∴．   

  ∵，∴．

      又，∴平面CDF．

      ∵平面CDF，∴．

      又，，　

      ∴平面ABE，．

      ∵，，，

∴ 平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5  如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，

求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴．

∵平面ABC，平面ABC，

∴．∴平面APC．

∵平面PBC，　

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

证明：过A作AO⊥平面BCD于O。 同理BC⊥DO  ∴O为△ABC的垂心  

7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

    证明：连结AC

    AC为A1C在平面AC上的射影

8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

   .

 证：取PD中点E，则

9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC，  且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：

    ∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG

∴A'E⊥BC

设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2

∴ED2=A'D2+A'E2

∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC; ②SC平面ANM

分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。

证明:

 ①∵SA平面ABC

            ∴SABC

        又∵BCAB, 且ABSA = A

        ∴BC平面SAB

        ∵AN平面SAB

        ∴ANBC   

        ②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B

        ∴AN平面SBC

        ∵SCC平面SBC

        ∴ANSC

        又∵AMSC, 且AMAN = A

        ∴SC平面ANM

11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明：取BC中点D  连结AD、PD   ∵PA=PB；∠APB=60°         ∴ΔPAB为正三角形    

         同理ΔPAC为正三角形         设PA=a         在RTΔBPC中，PB=PC=a

         BC=a         ∴PD=a   在ΔABC中   AD=

     =a∵AD2+PD2= =a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

12. 如图，直角BAC在外，，，求证：在影为直角。

证：如图所示，、，为射影。确定平面

13 以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

解：面AEF

两个平面垂直例题解析

1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BCD

D．平面ABC⊥平面BCD

【解析】由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，面AD平面ADC∴平面ADC⊥平面BCD．【答案】C

2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（　　）

A．a                B．a                C．a            D．a

【解析】取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C，又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO，因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得：A1O=a【答案】C

3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（　　）

A．5                B．5                C．3                  D．2

【解析】构造一个长方体，OP为对角线．【答案】B

4．在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____．

【解析】如图，CD=====26

5．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α，②l∥β，③ α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（　　）

A．3                  B．2                  C．1                  D．0

【解析】①②③，其余都错【答案】C

【典型例题精讲】

［例1］ 如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

图9—39

【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=a，

AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．

【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40

（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．

（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，

∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a，

作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=a，AC=a，SC=a，AE=a

∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°．

【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD

（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，

∴∠PDA=45°

（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42

（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．

（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴∴

∴即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，

∴平面MNF⊥平面ENF．

（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，

∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=a，NH=a，

∴tan∠MHN=，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为．

［例5］在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C．

【证明】如图9—43，∵E、F分别是AB1、CB1的中点，

图9—43∴EF∥AC．∵AB1=CB1，O为AC的中点．∴B1O⊥AC．故B1O⊥EF．在Rt△B1BO中，∵BB1=，BO=1．

∴∠BB1O=30°，从而∠OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1为BO与EF的交点）

∴△D1B1O1是直角三角形，即B1O⊥D1O1，∴B1O⊥平面D1EF．又B1O平面AB1C，∴平面D1EF⊥平面AB1C．

1．棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____．

【解】过A1作A1G⊥C1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，∴A1G⊥平面D1C，连结CG，∠A1CG即为A1C与侧面DCC1D1所成的角．

∵A1G= A1 D1 ·sin∠A1 D1 G=2sin60°=2·=而AC==∴A1C=，

∴sin∠A1CG=．【答案】

2．E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____．

【解析】设正方形的边长为2a．

则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠DOB=，∴∠DOB=120°

3．如图9—44，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成的角，侧面ABB1A1垂直于底面，

图9—44

（1）证明：B1C⊥C1A．（2）求四棱锥B—ACC1A1的体积．

（1）【证明】过B1作B1O⊥AB于O，∵面ABB1A1⊥底面ABC，面∴B1O⊥面ABC，∴∠B1BA是侧棱与底面所成角，∴∠B1BA=，又各棱长均为2，∴O为AB的中点，连CO，则CO⊥AB，而OB1∩CO=O，

∴AB⊥平面B1OC，又B1C平面OB1C，∴B1C⊥AB，连BC1，∵BCC1B1为边长为2的菱形，∴B1C⊥BC1，而AB∩BC1=B，

∴B1C⊥面ABC1∵A1C面ABC1∴B1C⊥AC1

（2）【解】在Rt△BB1O中，BB1=2，BO=1，B1O=，V柱=Sh=·4·=3，∴=V柱=1，

=V柱－=3－1=2

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45

（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，

又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD  ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，

∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC

∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，

而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴，设AD=2，∴PF=，PC=，∴FH=∴A到平面PEC的距离为．

5．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=2，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且满足EC=BC=2FB．

图9—46

（1）求证：平面AEF⊥平面A1ACC1；（2）求异面直线EF、A1C1所成角的余弦值．

（1）【证明】∵菱形对角线AC=2，BD=2∴BC=2，EC=2，FB=1，取AE中点M，连结MF，设BD与AC交于点O，MO EC FB

平面AEF⊥平面ACC1A1

（2）在AA1上取点N，使AN=2，连结NE，则NE ACA1C1

故∠NEF为异面直线A1C1与EF所成的角，连结NF，在直角梯形NABF中易求得NF=，同理求得EF=．

在△ENF中，cos∠NEF=，即EF与A1C1所成角的余弦值为．

【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．

∵BC 平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；

（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，

则MN∥A′A∥B′B，

∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．

设MN交AE于P，

∵CE＝AC，∴PN＝NA＝．

又DB＝a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，

∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，

∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ACC′A′．

（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，

∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝a，

AE＝a．

∴S△ADE＝×AE×PD

＝×．