济南大学线性空间测试题

一、填空题

（1）已知R3的两组基Ⅰ；

Ⅱ

那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为                            。

（2）在中，已知，，，是的基，那么，在该基下的坐标为                      。

（3）设是方程组解空间，是方程组那么∩是方程组                的解空间。

（4）设             。

（5）设、都是V的子空间，且+为直和，那么         。

二、判断题：

（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（   ）

（2）实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间。（    ）

（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（    ）

（4）线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（    ）

（5）在子空间的和+中，如果，且这种表示形式唯一，那么+为直和。（ ）  

三、在中，

当为何值时，线性相关？

当为何值时，线性无关？

四、设

（1）证明1，是的基，并求由该基到基的过渡矩阵。

（2）求在基1，下的坐标。

五、设，是齐次方程的解空间，求+，的一组基和维数。

六、设把V看成R上的线性空间，证明：

是V的一组基。

七、设的解空间，是 的解空间，证明：。

八、设证明：

（1）W关于中的向量的加法和数乘运算做成上的线性空间。

（2）。