数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率（k=0，1，2，…，n）
球的表面积公式S＝4R，其中R表示球的半径
球的体积公式V＝，其中R表示球的半径
一、选择题
1. 已知集合A＝{x｜|x|≤2，x∈R}，B＝{x｜≤2，x∈Z}，则A∩B＝
A. （0，2） B. [0，2] C. {0，2} D. {0，1，2}
2. 若（a+4i）i=b+i（a，b∈R），i为虚数单位，则a+b＝
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
3. 函数f（x）＝3+sinx，x∈[0，1）的反函数的定义域是
A. [0，1） B. [1，3+sin1） C. [0，4） D. [0，+）
4. 设S是等差数列{a}的前n项和，S=3（a+a），则的值为
A. B. C. D.
5. 已知函数y=2sin（2x+）（||<）的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为
A. x= B. x= C. x=－ D. x=－
6. 已经双曲线x－my=m（m>0）的一条渐近线与直线2x－y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为
A. x= B. x= C. x= D. x=
7. 设（x－b）=b+bx+bx+…+bx，如果b+b=－6，则实数b的值为
A. B. － C. 2 D. －2
8. 在△ABC中，D为BC边上的点， =+，则的最大值为
A. 1 B. C. D.
9. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为
A. 4 B. 12 C. 16 D.
10. 定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x－3）的图象关于点（3，0）成中心对称，若s，t满足f（s－2s） ≥－f（2t－t），则
A. s≥t B. s A. B. － C. D. － 12. 在8×8棋盘的个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为 A. B. 128 C. 204 D. 408 第Ⅱ卷 注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 曲线y=在点（0，2）处的切线方程为_______. 14. 若cos（－）=，则cos（+2）=________. 15. x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是_________. 16. 已知正三棱锥S－ABC的高为3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使=8，则过P且平行于底面的截面的面积为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分10分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=acosC，a+b=4（a+b）－8，求c的值。 18. （本小题满分12分） 在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定. （Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率； （Ⅱ）发言中甲、乙两位专家之间的中国专家数记为，求的分布列和数学期望. 19. （本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC－ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC. （Ⅰ）证明：AC⊥BA； （Ⅱ）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分） 已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R. （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值； （Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 21. （本小题满分12分） 如图，已知椭圆C： +=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB. （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立. 22. （本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa，且a+a=2a+4，其中n∈N. （Ⅰ）若b=，求数列{b}的通项公式； （Ⅱ）证明： ++…+>（n≥2）. 【试题答案】 评分说明： 1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分. 2. 第二题填空题，不给中间分. 3. 解答与证明题，本答案给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6. 只给整数分数. 一、选择题 13. x+y－2=0 14. 15. （－4，2） 16. 三、解答与证明题 17. （本小题满分10分） 解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分 因为0 又cosC0，所以tanC=1，故C=. 5分 由a+b=4（a+b）－8，得（a－2）+（b－2）=0，则a=2，b=2. 7分 又由余弦定理得c=a+b－2abcosC=8－4， 9分 所以c=. 10分 18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A，则 P（A）==. 3分 答：甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率为. 4分 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4. 5分 P（=0）==，P（=1）==， P（=2）==，P（=3）==， P（=4）==. 9分 的分布列为 ∴E=0×+1×+2×+3×+4×=. 12分 19. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则 ， 2分 . 4分 ∴AC⊥面BOA. 5分 ∵BA面BOA，∴AC⊥BA. 6分 （Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC， ∴AO⊥面ABC. 7分 过点O作OH⊥AB于H，连结AH，则AH⊥AB， ∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分 在等边△ABC中，OH=，AH=. ∴cos∠AHO==. 11分 ∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分 解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 7分 则A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）， C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n⊥，n⊥， ∵=（0，2，2）， =（2，2，0）， 8分 ∴ 取x=1，得n=（1，－，）. 9分 易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1）， 10分 所以cos ∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分 20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）若a=1 ，则f（x）=x|x－1|－lnx. 当x∈[1，e]时，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0， 所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）=f（e）=e－e－1. 4分 （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>. * （i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立， 所以a∈R； 5分 （ii）当x=1时，|1－a|≥0， =0，所以a1； 6分 （iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a 令h（x）=x－，则h′（x）=. 因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1. 因为a 综上所述，满足条件的a的取值范围是（－，1）. 12分 21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1， +=1，解得y=，从而得到A. 1分 直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0. 2分 由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=， 3分 将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b. ∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分 解法二：点A的坐标为. 1分 过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA， 故=. 2分 由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|， 所以=. 3分 解得|FA|=，而|FA|=，得=. ∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分 （Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分 当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组 的解. 6分 （1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b， 即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0. 7分 于是x+x=，xx=， yy=·= ==. 若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0. 所以，3t－2b（x+y）=0. 8分 在区间（0，b）内，此方程的解为t=b. 9分 （2）当y=0时，必有x0， 同理求得在区间（0，b）内的解为t=b. 10分 另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ. 11分 综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立. 12分 22. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为a=2a+aa，即（a+a）（2a－a）=0. 1分 又a>0，所以有2a－a=0，即2a=a 所以数列是公比为2的等比数列， 3分 由得，解得。 从而，数列{a}的通项公式为a=2（n∈N），即：b=（n∈N）. 5分 （Ⅱ）构造函数f（x）=－（b－x）（x>0）， 则f′（x）=－+=， 当0 所以f（x）的最大值是f（b）=，所以f（x）≤. 7分 即≥－（b－x）（x>0，i=1，2，3…n），取“=”的条件是x=b（i=1，2，3…n）， 所以++…+>－（b+b+…+b－nx）， 9分 令x=，则++…+>， 所以++…+>， 11分 即++…+>（n≥2）. 12分
二、填空题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B D A B A D C C D C
10分0 1 2 3 4 P
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