高一年级期中考试数学试卷(内容:必修一第一至三章)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列函数与有相同图象的一个函数是（     ）．

A． B． C．   D． 

2．已知是非负整数，记集合，则的元素的个数

为（    ）．

A．个       B．个        C．个        D．个

3．若，且，则（    ）．

A．         B．         C．         D． 

4．某商品月份降价，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与月份降价前相同，则三个价格平均回升率为（    ）．

A．       B．       C．      D． 

5．若函数的零点个数为，则（    ）．

A．           B．         C．          D． 

6．如图，正比例函数和的图象与反比例函数的图象分别相交于第一象限的点和点，若和的面积分别为和，则与的关系是（    ）．

A．    B．     C．     D．不确定 

7．设，，从到的映射满足，则这样的映射的个数为（    ）．

A．       B．       C．      D． 

8．设是上的偶函数，则（    ）．

A．       B．       C．      D． 

9．函数，若实数满足，则（     ）．

A．            B．          C．        D．不确定

10．函数的值域为（    ）．

A．       B．     C．     D． 

11．是偶函数，且在是减函数，则整数组成的集合为（    ）．

A．         B．       C．        D． 

12．设函数，则的值组成的集合为（     ）．

A．        B．    C．     D．.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．若集合，则实数的值组成的集合为        ．

14．已知一次函数的图象过点，一次函数的图象过点，

若，则            ．

15．已知函数，并且函数的最小值为，则的取值范围是________________．

16．定义在上的函数是奇函数，且当时，，则时， __________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设集合，求集合．

18．（本小题满分12分）

设函数是奇函数，（）且，，求函数的解析式．

19．（本小题满分12分）

设函数在区间有最小值，求函数的零点．

20．（本小题满分12分）

已知函数，且函数与的图象在轴上的截距相等，（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．

21．（本小题满分12分）

已知定义在上的函数 满足：

对任意的都有；

当时，．

求证：（1）对任意的，都有；

（2）在上是增函数．

22．（本小题满分12分）

设，已知时，有最小值，

   （1）求与的值；（2）在（1）的条件下，求的解集；

   （3）设集合，且，求实数的取值范围．

参与解析：

1．【答案】D

【思路导引】有相同三要素的函数就是同一函数，应当从函数的三要素来判断，同时注意函数的定义域和函数的对应法则一起就决定了值域。所以入手角度是看定义域和解析式．

【解析】，对应法则不同；，与定义域不同；与为同一函数．

【点评】定义域是函数的灵魂，所以先求定义域，再化简整理解析式进而作出决策

【易错分析】此类题最易犯的错误是不看定义域直接化简解析式判定，有这一习惯的学生特别要注意。尤其是对于B，忽视了，对于C，容易忽视．这可谓是“习惯决定成败”

2．【答案】C

【思路导引】首先认识到，是非负整数，再根据非负整数的和等于1

来解不定方程．

【解析】由非负整数满足，得，或，

即，，或，即．

【点评】注重理解非负数和的特点．

【易错分析】在解题最后忘记是非负数，多取了增根，“大意失荆州”。

3．【答案】B

【思路导引】 直接计算比较困难，观察互为倒数，考虑先算其平方．

【解析】   ，

即．

【点评】注意根据式子的构成特点，选择恰当的运算．

【易错分析】本题容易误认为是两个答案，就是忽视了．

4．【答案】A

【思路导引】 增长率问题的理解应用，建立方程模型．

【解析】  ．

【点评】本题的商品价格先降价，再三次涨价，生活实际背景鲜明，为函数的实际应用的好题．

【易错分析】对价格的平均回升率的处理往往容易出错．

5．【答案】B

【思路导引】把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数问题．

【解析】 画出函数与函数的图象，发现它们恰有个交点．

【点评】比较准确地画出函数的图象，成为解题的关键．

【易错分析】在解题实践中，不重视基本图形，重要函数的图象的绘制及图像变换，错误画图或不知用图导致解题受阻．

6．【答案】B

【思路导引】 设出点的坐标，考虑到面积可以用点的坐标来刻画，而且点的坐标满足已知的反比例函数的解析式．

【解析】    法一：设，，而，．

法二：（补形）把两个直角三角形补成以两直角边为邻边的矩形，可知它们面积相等，故它们面积的一半也相等。

【点评】设出点的坐标，点的坐标成为解决问题的纽带；或发现反比例函数第一象限图像上的任一点满足横纵坐标乘积为定值。

【易错分析】忽视基础，没有正确思路，从而根据已知图象乱加猜测．

7．【答案】C

【思路导引】 首先抓住映射定义的核心，然后再寻找符合条件的映射

【解析】   分类：对应同一个像，只有；

对应同两个像，有，，故3个．

【点评】分类与整合的思想方法是解决计数问题的立足之本。

【易错分析】在分类列举的过程中，容易遗漏符合条件的映射，从而导致错选

8．【答案】B

【思路导引】 本题中的函数图象不容易画出，努力尝试使用偶函数的定义．

【解析】 法一：，，

，而，则．

法二：（赋特值）由已知解得

【点评】使用了偶函数的定义，得到关于的恒等式，从而问题得到解决．也可以发现此题所求未知量只有一个，直接赋值找到一个等式解方程即可。

【易错分析】不会整理利用恒等式，不会巧妙利用赋特值，导致解题失败或耗时．

9．【答案】D  

【思路导引】首先想到直接代入函数解析式化简可得，但运算量过大；所以可试着对已知函数的基本性质作充分的研究和认识，利用函数值的关系来找自变量取值的关系，进而正确解题．

【解析】  显然为奇函数且单调递增，而，

∴，即．

【点评】注意体会通过单调性来得出关于的关系．

【易错分析】本题比较抽象，如果忽视了对函数的基本性质给予充分的研究和认识，往往导致解题思路的受困．

10．【答案】B

【思路导引】 利用单调性求函数的值域是重要的类型题，但是本题的函数的单调性比较隐蔽，需要通过变形来再认识．

【解析】    ,是的减函数，当．

【点评】评注：注意体会本题中分子有理化方法的运用．改变结构，眼前一亮。

【易错分析】容易忽视函数本身中的，即函数值首先要是正的。

11．【答案】D

【思路导引】 函数是偶函数且a是整数，则该函数的指数位置是偶数，且在是减函数，即应为负偶数．

【解析】法一：应为负偶数，即，

当时，或；当时，或．

法二：且，为偶数知可取

【点评】准确界定应为负偶数，成为解题的关键．

【易错分析】对不定方程的解的讨论过程容易漏解．

12．【答案】C

【思路导引】 通过已知函数解析式，得出关于的方程．

【解析】，

得．

【点评】通过转化，得出关于得出关于的方程．

【易错分析】解关于的方程的过程，容易造成解的遗漏，从而造成错选．同时方程两边取对数化简也很重要。

13．【答案】

【思路导引】仔细观察，发现交集运算的结果是个单元素集合．

【解析】  注意到交集运算的结果是个单元素集合，所以，

即，得，所以为所求．

【点评】要从整体上来把握，不能割裂看左边的集合交集运算，

【易错分析】仅仅从左边出发，导致不能得出集合交集运算结果，从而导致解题思路受阻．

14．【答案】

【思路导引】首先设，再根据题目条件来确定参数的值．

【解析】  设，则，

即，，得，

，得，所以．

【点评】由，得，

恒等式的出现，成为问题解决的关键．

【易错分析】本题已知条件比较复杂，在转化过程中，部分同学遇到挫折就容易放弃．

15．【答案】

【思路导引】函数的最小值为，得区间是函数的递减区间．

【解析】    当时，，则得区间是函数的递减区间，

              而函数的对称轴为，即．

【点评】细心观察，自变量最大的时候，函数值最小，得区间是函数的递减区间．

【易错分析】容易忽视区间本身隐含．不同版本的数区间定义不一样

16．【答案】

【思路导引】 由奇函数的定义得，再适当变形即得．

【解析】  当时，得，则，而函数是奇函数，

则，即；

当时，函数是定义在上的奇函数，得，

则．

【点评】对于奇函数的定义的灵活应用，再结合恒等变形，分段函数是高考必考内容，也因为它可以包含多种形式的解析式。

【易错分析】容易忽视当时，函数是定义在上的奇函数，得

17．【答案】

【思路导引】紧抓住集合是单元素集合，揭示了一元二次方程有两个相等的实数根且都是a．

【解析】由得的两个根，

即的两个根，

∴，，

 ∴．

【点评】本题的解决有赖于深刻把握集合中就一个元素，即转化为相应的一元二次

方程有两个相等的实数根；

【易错分析】容易得出，但是这结论对解题帮助并不大，而本题此时应该使用一元二次方程的根与系数的关系．

18．【答案】

【思路导引】根据题目的已知条件，从奇函数的定义出发，再结合，解不等式．

【解析】由函数是奇函数，

得，即，

而，得，

而，

当时，，即，

得，而，，即，，

当时，，即，

   得，与矛盾，

所以，，，

即函数的解析式为．

【点评】对于，再分类讨论，得出，，，

【易错分析】对于不等式，再结合，不能顺利得出，，．

19．【答案】函数的零点为

【思路导引】对称轴为，区间是运动的，定轴动区间，分情况讨论，再求出的解析式．

【解析】二次函数的对称轴为，

当，即时，为函数的递减区间，

得；

当时，为函数的递增区间，

得；

当，即时，；

所以，令，得，

即函数的零点为．

【点评】抓住区间端点与对称轴的关系是解题关键，可谓生死一线.

【易错分析】分类讨论思想不能自觉运用

20．【答案】，当时，，它在上单调递增；

当时，，它在上单调递增．

【思路导引】本题考察截距的概念，通过分类讨论思想去绝对值，再研究函数的单调性

【解析】（1）令，则得截距分别为，

所以，而，得；

（2），

当时，，它在上单调递增；

当时，，它在上单调递增．

【点评】本题把初中数学的一个普通概念截距作为问题解决的突破口，再进一步探究函数的单调性

【易错分析】在教学实践中，同学们往往容易忽视基本概念，基础知识，从而导致解题失败

21．【答案】

【思路导引】首先想到赋值法的使用，然后构造单调性的运用。

【解析】解：（1）∵对任意的，

            ∴，即，

            而，

           ∴；

     （2）设，而，

，

显然，而当时，，

           ∴，即，

         在上是增函数．

【点评】没有给出具体的函数解析式，更需要对函数的对应法则，函数的基本性质需要更深刻的了解；同时抽象函数单调性的判断在中学阶段只有定义法.

【易错分析】恒等变形能力的缺乏，导致不能配凑到可以应用单调性定义的模式

22．【答案】与的值分别为；集合，

实数的取值范围为，或

【思路导引】首先通过变形得到关于的二次函数，求出与的值，再解不等式

【解析】（1）令，，

           ，由已知，即时，有最小值，

           得二次函数的对称轴为，得，

           ，得；

           即与的值分别为；

      （2）由与的值分别为，

得，

           即，得，或，

           即，或，得集合；

       （3）集合，而，

            得，或，解得，或，

            即实数的取值范围为，或．

【点评】通过变形得到二次函数类型题，一元二次不等式也是重要基础知识；

【易错分析】二次函数类型题处理得不顺利或计算能力的不足都有可能导致解题失败.

备用题：

1．已知，点都在二次函数的图象上，

则（    ）．

A．     B．     C．     D． 

1．A  二次函数的对称轴为，而，即．

2．设集合，则的运算结果为（    ）．

A．         B．         C．          D． 

2．C  ．

7．抛物线在轴上截得最短线段的长为_________________．

7．  截得线段的长为．

评注：二次函数的图象是抛物线，抛物线与轴的交点的横坐标是相应一元二次方程的根，再利用韦达定理．

18．（1）求证：         （2）利用（1）的结论求值： 

18．（1）证明：只要证，

即，

而此式显然成立，所以；

（2）解：，

，

．

评注：本题在解答过程中使用了上述的结论，体会多多掌握公式的变形与推广，并把它们作为

解题工具，体会解题思路的简洁优化．

6．已知函数的定义域为，且对任意，都有，

且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；

（2）函数是奇函数． 

6．证明：（1）定义法：设则

∵，时，，∴，故原函数为减函数

设，则，得，

而，

   ∴，

   ∴函数是上的减函数；

   （2）由得，

    即，而，

       ∴，即函数是奇函数．

6．已知函数．

（1）求的定义域；

（2）讨论的奇偶性；

（3）讨论在上的单调性．

6．解：（1），即，而，

           得，或，

即的定义域；

（2），

即，

得为奇函数；

（3），

     令，在上，是减函数，

当时，在上是减函数，

当时，在上是增函数．