高中数学-《空间几何体》单元测试卷

一、选择题（每题5分）

1．下列说法正确的是（　　）

A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形

B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体

C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（　　）

A． B．2π C．3π D．4π

3．如图是由哪个平面图形旋转得到的（　　）

A． B． C． D．

4．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　　）

A． B． C．20cm D．10cm

5．（5分）已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（　　）

A．16 B．16或 C． D．都不对

6．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（　　）

A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1

7．（5分）圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　　）

A． B． C．π D．128π

8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）

A． B． C． D．

9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（　　）

A．372 B．360 C．292 D．280

10．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分）

11．已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为 

　　　　　　．

12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为　　　　　　．

13．正方体的内切球和外接球的半径之比为　　　　　　．

14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为　　　　　　厘米．

15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是　　　　　　．

三、解答题

16．（2014秋•瓯海区校级期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．

17．画出下列空间几何体的三视图．

18．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

19．（2010秋•海南校级期末）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．

20．一个空间几何体的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1=3．

（1）请画出它的直观图（不要求写出画法）；

（2）求这个几何体的表面积和体积．

21．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．

参与试题解析

一、选择题（每题5分）

1．下列说法正确的是（　　）

A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形

B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体

C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

【考点】棱台的结构特征；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】根据圆锥的几何特征，可判断A；根据棱柱的几何特征，可判断B；根据棱台的几何特征，可判断C；根据圆台的几何特征，可判断D．

【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，故A错误；

棱柱即是两个底面全等且平行，其它各面的交线均互相平行的多面体，故B错误；

棱台是由一个大棱锥被一个平行于底面的平面所截，夹在截面与底面的部分，

故任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故C正确；

通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D错误；

故选：C

【点评】本题考查的知识点是棱锥，棱台，棱柱，圆台，圆锥，圆柱的几何特征，难度不大，属于基础题．

2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（　　）

A． B．2π C．3π D．4π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题．

【分析】由已知中的三视图，我们可以确定该几何体为圆锥，根据正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，求出圆锥的底面半径和母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．

【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个圆锥

又由正视图与侧视图都是边长为2的正三角形

故底面半径R=1，母线长l=2

则这个几何体的侧面积S=πRl=2π

故选B

【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状及圆锥的底面半径和母线长是解答本题的关键．

3．如图是由哪个平面图形旋转得到的（　　）

A． B． C． D．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】阅读型．

【分析】利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，从而得到轴截面的图形．

【解答】解：图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，

故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，

故选 D．

【点评】本题考查旋转体的结构特征，旋转体的轴截面的形状．

4．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　　）

A． B． C．20cm D．10cm

【考点】棱锥的结构特征．

【专题】计算题．

【分析】通过圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，求出圆锥的高即得．

【解答】解：由题设条件可知，

在直角三角形中，

圆锥的高：h=20cos30°=20×=．

故选A．

【点评】本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确利用圆锥的母线，底面半径构成的直角三角形，是解题的关键，考查计算能力．

5．（5分）已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（　　）

A．16 B．16或 C． D．都不对

【考点】平面图形的直观图．

【专题】计算题．

【分析】应分直观图中的平行四边形哪条边为4，两种情况，由斜二测画法规则可知，原正方形的边长可为4或8，求其面积即可．

【解答】解：由斜二测画法规则可知，原正方形的边长可为4或8，故其面积为16或．

故选B

【点评】本题考查对斜二测画法的理解，属基础知识的考查．

6．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（　　）

A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题．

【分析】由柱体，锥体的体积公式，代入计算即可．

【解答】解：设圆柱，圆锥的底面积为S，高为h，

则由柱体，锥体的体积公式得：

故选D．

【点评】本题考查柱体，锥体体积公式的直接应用，是基础题目．

7．（5分）圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　　）

A． B． C．π D．128π

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得l=r，代入S侧=πrl求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

∴2r=，即l=r，

由题意得，侧面积S侧=πrl==16，

解得r=4，

∴l=4，圆锥的高h==4，

∴圆锥的体积V=Sh==，

故选：A．

【点评】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题．

8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）

A． B． C． D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题．

【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．

【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，

全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2

=．

故选A．

【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．

9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（　　）

A．372 B．360 C．292 D．280

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度．即可求出组合体的表面积．

【解答】解：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2）=360．

故选B．

【点评】把三视图转化为直观图是解决问题的关键．又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．

10．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【专题】计算题．

【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．

【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，

后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，

B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．

如图B．

故选B．

【点评】本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．

二、填空题（每题5分）

11．已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为 

　28　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题．

【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．

【解答】解：

故答案为：28．

【点评】本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．

12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为　　．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题．

【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积．

【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴

∵R2=r2+h2，∴

∴V=×π××=

故答案为：

【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆锥的体积公式，属于基础题．

13．正方体的内切球和外接球的半径之比为　　．

【考点】球内接多面体．

【专题】计算题．

【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论．

【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．

a=2r内切球，r内切球=a=2r外接球，r外接球=，r内切球：r外接球=．

故答案为：1：

【点评】本题是基础题，本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，正方体的棱长是内切球的直径，考查计算能力．

14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为　12　厘米．

【考点】球的体积和表面积．

【专题】计算题．

【分析】根据圆柱水面升高的高度，求出水的体积，就是球的体积，然后求出球的半径．

【解答】解：（cm）

故答案为：12

【点评】本题是基础题，考查圆柱的体积与球的体积的关系，考查计算能力，是送分题．

15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是　　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题．

【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可．

【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，

8个三棱锥的体积为： =．

剩下的凸多面体的体积是1﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

三、解答题

16．（2014秋•瓯海区校级期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题．

【分析】设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．利用三角形相似，求出圆锥的母线长．

【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．

∵

∴

∴

答：圆锥的母线长为cm．

【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查计算能力，是基础题．

17．画出下列空间几何体的三视图．

【考点】简单空间图形的三视图．

【专题】作图题．

【分析】根据三视图的画法，直接画出（1）圆锥几何体的三视图；（2）下部是正六棱柱，上部是正六棱锥的三视图即可．

【解答】解：（1）的三视图如下：

（2）的三视图如下：

【点评】三视图的画出，注意长对正，宽相等，高平齐的原则，同时注意看得到的为实线，看不到的为虚线，考查作图能力．

18．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题；图表型．

【分析】由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．

【解答】解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，

则圆柱的上底面为中截面，可得r=1 （2分）

∴2，

∴．（6分）

【点评】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．

19．（2010秋•海南校级期末）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题．

【分析】设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，做出圆锥的母线长与底面半径，利用表面积公式和体积公式做出结果．

【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，

∵3π=

∴l=3，

∴120°=，

∴r=1，

∴圆锥的高是

∴圆锥的表面积是πr2+πrl=4π

圆锥的体积是=

【点评】本题考查圆锥的表面积和体积，解题时注意圆锥的展开图与圆锥的各个量之间的关系，做好关系的对应，本题是一个易错题．

20．一个空间几何体的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1=3．

（1）请画出它的直观图（不要求写出画法）；

（2）求这个几何体的表面积和体积．

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】图表型；空间位置关系与距离．

【分析】（1）根据几何体的三视图判断该几何体的形状，就可画出直观图．

（2）由几何体的三视图可判断这个几何体是正三棱柱，所以体积是底面积乘高．根据三视图中所给数据，就可求出底面三角形的面积和高，进而求出体积及表面积．

【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示：

（2）这个几何体是直三棱柱．

由于底面正△ABC的边长为3，侧棱长BB′=CC′=AA′=3

故所求全面积S=2S△ABC+3SBB'C'C=2×+3×3×3=+27；

体积V=Sh==．

【点评】本题考察了三视图、直观图的特点及其画法，直三棱柱体积的计算，需要有较强的空间想象力

21．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题．

【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．

【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的

几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面

=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1

=

=

=．

体积V=V圆台﹣V圆锥

= [25π++4π]×4﹣×2π×2×2

=×39π×4﹣×8π

=．

所求表面积为：，体积为：．

【点评】本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．