高考数学专题之复合函数

1．已知函数满足，其中，且。

（1）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；

（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。

解： 且

设，则    ∴ ∴     

当时，∵         ∴ 在其定义域上

当时，∵ ，，   ∴ 在其定义域上

∴ 且，都有为其定义域上的增函数

又∵     ∴ 为奇函数

（1）∵ 当时，∴ 

∴ 

（2）当时，∵ 在上，且值域为∴    

         ∴ 

例2. 函数是的反函数，的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形，记。 

（1）求的解析式及其定义域；

（2）试问的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）         ∴ 

∵ 的图象与的图象关于直线成轴对称图形

∴ 的图象与的图象关于直线对称

即：是的反函数  

      ∴     ∴ 

∴ 

（2）假设在的图象上存在不同的两点A、B使得轴，即使得方程有两不等实根

设，则在（，1）上且

∴ ，   ∴ 使得方程有两不等正根

设，

由函数图象可知：，方程仅有唯一正根∴ 不存在点A、B符合题意。

3. 设且为自然对数的底数，函数f（x）

   （1）求证：当时，对一切非负实数x恒成立；

   （2）对于（0，1）内的任意常数a，是否存在与a 有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由.

分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法

解：（1）当令

上单调递增，

（2）（1），

需求一个，使（1）成立，只要求出的最小值，满足

上↓

在↑，

只需证明内成立即可，

令

为增函数

，故存在与a有关的正常数使（1）成立。