2010年高考数学文科试题解析版(全国卷II)

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题

（A）    （B）    （C）    （D）

C .

（2）不等式＜0的解集为

（A）    （B）    （C）  （D）

【解析】A 

（3）已知，则

    （A）（B）（C）（D）

【解析】B： 

（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是

（A）y=-1(x>0)     (B) y=+1(x>0)

(C)  y=-1(x R)    (D）y=+1 (x R)

【解析】D

(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为

（A）1         (B)2       (C)3        (D)4

【解析】C：本题考查了线性规划的知识。

当时

(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=

（A）14     (B) 21      (C) 28        (D) 35

【解析】C：本题考查了数列的基础知识。

（7）若曲线在点处的切线方程是，则

（A）                     (B) 

(C)                     (D) 

【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程

（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为

（A）                     (B) 

(C)                       (D) 

【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ 

（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A） 12种       (B) 18种       (C) 36种         (D) 54种

【解析】B：本题考查了排列组合的知识

∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有

（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，

= 2, 则=

（A）a + b    （B）a +b        （C）a +b     （D）a +b

【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识

（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个                    （B）有且只有2个

（C）有且只有3个                    （D）有无数个

【解析】D：本题考查了空间想象能力

∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，

（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =

（A）1     （B）      （C）      （D）2

【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，

，解得，

（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________

【解析】  ：本题考查了同角三角函数的基础知识

 ∵，∴

(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________

【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识

∵ ，∴ ，∴ 

(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________

【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质

设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）

（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离            。

【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识

∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，∴ ，∴ ，∴ MN=3

三、解答题；本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

中，为边上的一点，，，，求。

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

（18）（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等比数列，且

，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。

（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。

（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。

（19）（本小题满分12分）

   如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB

   （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；

   （Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

（20）（本小题满分12分）

     如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。

（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。

【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及事件的概率，（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p。（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与事件的概率求得。

（21）（本小题满分12分）

    已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。

（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。

（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）

（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。

（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率。

（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。