高等数学二重积分1

先回顾求曲边梯形面积四步法

一、问题的提出

引例1设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面，这里≥0且在D上连续-7），这种立体称为曲顶柱体。试计算此曲顶柱体的体积V.

如果曲顶柱体的顶是与平面平行的平面，也就是该柱顶的高度是不变的，那么它的体积可以用公式体积=底面积×高来计算，现在柱体的顶是曲面，当自变量（x,y）在区域D上变动时，高度是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。下面，我们仿照求曲边梯形面积的方法：

分割→作近似→求和→取极限

来解决求曲顶柱体的体积问题。

第一步：分割   将区域任意分成个小区域，，…，，且以表示第个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为个小曲顶柱体.

第二步：作近似   对于第个小曲顶柱体，当小区域的直径足够小时，由于连续，在区域上，其高度变化很小，因此可将这个小曲顶柱体近似看作以为底，为高的平顶柱体（图11-8），其中为上任意一点，从而得到第个小曲顶柱体体积的近似值

.

第三步：求和   把求得的个小曲顶柱体的体积的近似值相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值：

.

第四步：取极限   当区域分割得越细密，上式右端的和式越接近于体积.令个小区域的最大直径，则上述和式的极限就是曲顶柱体的体积，即

.

引例2  设有一质量非均匀分布的平面薄片，占有平面上的区域，它在点处的面密度在上连续，且﹥0.试计算该薄片的质量.

我们用求曲顶柱体体积的方法来解决这个问题。

第一步：分割   将区域任意分成个小区域，，

…，，并且以表示个小区域的面积（图11-9）

第二步：作近似  由于连续，只要每个小区域

的直径很小，相应于第个小区域的小薄片的质量的近似值为

，

其中是上任意一点.

第三步：求和   将求得的个小薄片的质量的近似值相加，便得到整个薄片的质量的近似值                                                  

.

第四步：取极限   将无限细分，即个小区域中的最大直径时，和式的极限

就是薄片的质量

即

上面两个问题的实际意义虽然不同，但都是把所求的量归结为求二元函数的同一类型和式的极限，这种数学模型在研究其它实际问题量也会经常遇到的，为此引进二重积分的概念。

二、  二重积分的定义

设z = f (x, y)为有界闭区域D上的有界函数.

(1)把区域 D 任意分成 n 个小闭区域  i ，其面积为  i (i = 1, 2, · · ·, n)；

(2)在每个小闭区域 i中任意取一点Pi( i,  i)，

(3)作和

(4)  求极限                    其中  ={n个小区域中的直径最大者}

则此极限值为函数 f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记作：

其中称为被积函数，称为积分区域，称为被积式，称为面积微元，与称为积分变量。

由二重积分定义,立即可以知道：

曲顶柱体的体积

平面薄片的质量

关于二重积分的几点说明：

（2）如果被积函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分存在，则称f(x,y)在D上可积。 f(x,y)在闭区域D上连续时，f(x,y)在D上一定可积。

三、二重积分的几何意义

当 f (x, y)≥0时，

当 f (x, y)≤0时，

当 f (x, y) 有正有负时，

特别的

四、二重积分的性质

二重积分具有与定积分类似的性质，现叙述如下。

性质1   被积函数中的常数因子可以提到积分号外面。即

性质2   函数代数和的积分等于各函数积分的代数和。即

性质3  对区域具有可加性

性质4 在区域D上                    则有

特别地

性质5

（二重积分估值不等式）

性质6

（二重积分中值定理）

性质7

例：比较积分的大小，其中D是三角形闭区域,  三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).

例：

练习：

小结

二重积分的定义（和式的极限），二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）

二重积分的性质

作业：下册p39 1,2

课题2在直角坐标系下二重积分的计算

一、  引入

根据定义来计算二重积分是相当困难的．本小节将在直角坐标系中，根据二重积分的几何意义，推导出二重积分的计算方法，从而把计算二重积分的问题转化为接连计算两个定积分的问题．

二、利用直角坐标系计算二重积分

假设，积分区域

                                              ［X－型］

在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与xoy面垂直的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：底为，高为z=f(x,y),其面积为

所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得

即

这就是二重积分在直角坐标系下的计算公式，也把它称为先后的累次积分

2、积分区域为：                    

［Y－型］

3、   对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。

若区域如图，则必须分割. 

在分割后的三个区域上分别使用积分公式

解法1. 将D看作X–型区域, 则I=

例：计算                   ,其中D是由抛物线                 所围成的闭区域.

解:求交点为(1,2),(-1,2),D是x型区域

例：计算               其中D 是抛物线       及直线y=x-2围成的闭区域. 

解法1 

先求交点为(1,-1),(4,2)  若D看成X－型区域

（计算比较麻烦）

解法2  D是Y型区域,则 

例：计算                   ，其中D是由直线             及y=x所围成的闭区域.

在直角坐标系下计算二重积分的步骤

（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；

（2）根据积分域类型或被积函数, 确定积分次序；

（3）确定积分限，化为二次定积分；

（4）计算两次定积分，即可得出结果.

注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。

例：一平面薄板占据xy平面上趋于D是由围成，面密度，求其质量

解：区域D看成Y型区域，

先求交点：得，其质量为

=

小结

作业：下册p39   3,4

课题3二重积分习题课

一、复习

1、二重积分的定义

2、二重积分的实际意义及几何意义

3、二重积分的计算公式

计算下列二重积分

1、，其中D是由直线y=x，y=1，x=0围成的闭区域

2、 其中D是由围成的闭区域

3、，其中D为与所围成的区域

4、其中D为两坐标轴及直线所围成的区域

，其中D为，，与所围成的区域

6、，其中D是由直线y=2x，x=2 ,y=0围成的闭区域

7、，其中D为, ,x=1所围成的区域

8、，其中D为与，y=x所围成的区域

9、，其中D为，及 所围成的闭区域

10、，其中D：

11、，其中D为，所围成的闭区域

12、，其中D为，及 所围成的闭区域

14、，其中D是顶点分别是所围成的区域

15、，其中D：

16、，其中D是由直线y=x，y=0，x=1围成的闭区域

17、，其中D是由直线y=x，y=0，x=1围成的闭区域

18、，其中D：

19、，其中D是由直线y=x，y=0，围成的闭区域

20、，其中D为与所围成的区域

21、，其中D是由直线y=2，，x=0围成的闭区域

22、 其中D是由围成的闭区域

23、，其中D是由直线y=x，y=0，围成的闭区域

24、，其中D是由直线y=x，y=1，围成的闭区域

授课单元14教案