1980高考数学真题

（理科）

一．（本题满分6分）

将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：

1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围。

          O3              

        3   3          

        1      2       

       O1       O2     

          1   2         

二．（本题满6分）

半径为1、2、3的三个圆两两外切。证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形。

。

三．（本题满分10分）

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点。

四．（本题满分10分）

证明对数换底公式： 

五．（本题满分10分）

              P               

     N                           

               A                   

         B           M     

直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）。直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）。证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB。

六．（本题满分12分）

设三角函数其中k≠0。

1．写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;

2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m。

七．（本题满分14分）

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、

        C                       

   A     D          B       

△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）。

八．（本题满分14分）

已知0＜α＜π，证明：并讨论α为何值时等号成立。

九．（本题满分18分）

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动。问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。（注：设P（x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）。

附加题（成绩不计入总分，只作参考）

设直线（L）的参数方程是（t是参数）

椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）

问、b应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点。