初中不等式分式与分式方程

【考纲说明】

1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．

【趣味链接】

【知识梳理】

一．不等式部分

考点一、不等式的相关概念

1．不等式

  用不等号连接起来的式子叫做不等式．

  常见的不等号有五种： “≠”、  “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

  不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.

3．解不等式

   求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.

要点诠释：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

考点二、不等式的性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．

要点诠释：

（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.

（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.

考点三、一元一次不等式（组）

1．一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．

2．一元一次不等式的解法

     一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

    解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．    

要点诠释：

解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

3．一元一次不等式组及其解集

     含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

     一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

要点诠释：

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．  

4．一元一次不等式组的解法

       由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

不等式组

注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.

要点诠释：

解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

5．一元一次不等式（组）的应用

    列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．

要点诠释：

列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．

6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系

一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围.

二．分式与分式方程

考点一、分式的有关概念及性质

1．分式

　　设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

　　（M为不等于零的整式）.

3．最简分式

　　分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

　　(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

　　（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

　　（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

　　（4）分式有无意义的条件：在分式中，

　　　　 ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

　　　　 ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

　　　　 ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．

考点二、分式的运算

1．基本运算法则

　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

　（1）加减运算 ±=       

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

 　    ；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

（2）乘法运算   

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算   

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

　（4）乘方运算   （分式乘方）

分式的乘方，把分子分母分别乘方．

2．零指数    .

3．负整数指数 　

4．分式的混合运算顺序

　  先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

5．约分

　  把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

6．通分

　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

要点诠释：

 约分需明确的问题：

　　(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

　　(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．

通分注意事项：

　　(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．

  　(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

    (3)确定最简公分母的方法：

　　最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

　　最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.

考点三、分式方程及其应用

1．分式方程的概念

　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

　　解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 

3．分式方程的增根问题

　　验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

4．分式方程的应用

　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

要点诠释：

    解分式方程注意事项：

（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

列分式方程解应用题的基本步骤：

　　(1)审——仔细审题，找出等量关系；

　　(2)设——合理设未知数；

　　(3)列——根据等量关系列出方程；

　　(4)解——解出方程；

　　(5)验——检验增根；

　　(6)答——答题．

考点四、二次根式的主要性质

1.；

2.；

3.；

4. 积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

要点诠释：

   与的异同点：

（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而

（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，

而.

考点五、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；

3．二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

要点诠释：

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.

例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；

(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.

如：，利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.

三．一元一次方程

考点一、一元一次方程

1.等式性质

（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.

2.方程的概念

（1）含有未知数的等式叫做方程.

（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).

（3）求方程的解的过程，叫做解方程.

3.一元一次方程

（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.

（2）一元一次方程的一般形式:.

（3）解一元一次方程的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).

要点诠释：

  解一元一次方程的一般步骤

（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；

（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.

考点二、二元一次方程组

1. 二元一次方程组的定义

两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

要点诠释：

判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．

2.二元一次方程组的一般形式

要点诠释：

    a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.

3. 二元一次方程组的解法

(1) 代入消元法；

(2) 加减消元法.

要点诠释：

    （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．

（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：

    当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.

考点三、一次方程（组）的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤： 

1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；

2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；

3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；

4.解:解所列的方程(组)；

5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；

6.答:注意单位和语言完整.

要点诠释：

     列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.

【经典例题】

1．解不等式≥x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．

【思路点拨】

①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；

②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；

③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x＜a或x＞a时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用实心圆点表示.

【答案与解析】

解：去分母，得  4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60，

     去括号，得 8x-4-20x-2≥15x-60，

移项合并同类项，得-27x≥-54，

系数化为1，得x≤2．

在数轴上表示解集如下图所示：

【总结升华】解不等式（组）是中考中易考查的考点，必须熟练掌握．

2．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.

【思路点拨】分别解出两个不等式的解集，再求出公共的解集即可.

【答案与解析】

解：

由（1）式得＜5，            

由（2）式得≥-1，         

∴  -1≤＜5 

数轴上表示如图：        

【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.

3．计算

【答案与解析】

4．如果方程 有增根, 那么增根是        .

【答案与解析】 

因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.

答案: 

【点评】使分母为0的根是增根.

5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？

【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．

【答案与解析】

方法一：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，

则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，     

解得：x=40，      ∴60-x =60-40=20                    

      答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.                    

      方法二：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，

根据题意列出方程组：                   

       解得：                                   

答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.  

6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；

 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；

请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.

【答案与解析】

设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：

      解得

 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.

【课堂练习】

1..

【答案】解：去分母，得   （不要漏乘！每一项都得乘）

        去括号，得      （注意符号，不要漏乘!）

        移  项，得      （移项要变号）

       合并同类项，得        （计算要正确）

       系数化为1， 得        （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）

2.当x取何值时，分式有意义?值为零?

【答案】

当时，分式有意义，即时，分式有意义.

当且时，分式值为零，

解得，且，即时，分式值为零.

3.已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为      .

【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6.

4. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】不等式组的解集为-3≤x＜1，数轴上表示如图：

5.已知求的值.

【答案】 由得

所以即.

所以.

【课后作业】

1.解不等式组，并写出不等式组的整数解；

【答案】不等式组的解集为1≤x＜5，故其整数解为：1，2,3,4．

2.关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于

的解，求a的取值范围．

【答案】.

3.“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（      ）

A．         B． 

C．            D． 

【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为．

根据题意，列方程得，故选A．

4.如果方程 有增根, 那么增根是        .

5.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（    ）

A．73cm          B．74cm        C．75cm         D．76cm

【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则.故选C.

【归纳总结】

【课后反馈】